Espacio de Configuraciones

El espacio de configuraciones de un sistema mecánico es la representación matemática de la totalidad de estados del sistema. Este objeto es la base para estudiar el problema de la planeación de movimiento en Robótica, planteamiento que corresponde al área encargada del diseño, creación e implementación de algoritmos para el movimiento de un robot. La importancia de estos espacios radica en que la planeación de movimiento físico es cambiada a un problema de planeación de movimiento topológico. 

Veámos a continuación un ejemplo: supongamos que queremos considerar el espacio de configuraciones $X$ de tres robots moviéndose (sin colisionar) en alguna región del plano $\mathbb{R}^2$. Representando a cada robot como un punto en $\mathbb{R}^2$, cada estado del espacio $X$ queda determinado por tercias de puntos de $X$ distintos entre sí; es decir, $$ X=\{(a,b,c)\in \mathbb{R}^2\times \mathbb{R}^2\times \mathbb{R}^2 \;|\; a\neq b, b\neq c, c\neq a\} $$ La descripción anterior del espacio de configuraciones puede generalizarse a una cantidad mayor de robots. Más aún, si consideramos que los robots tienen la posibilidad de moverse en algún espacio ambiente $M$ entonces podemos escribir $$ X=\{(x_1,x_2,\ldots, x_n) \;|\;x_i\in M,\;\; x_i\neq x_j, i\neq j\} $$ donde $x_i$ corresponde al $i$-ésimo robot. Para hacer referencia al número de robots y a la región de movimiento se usa la notación $X=F(M,n)$. El objeto $F(M,n)$ tiene estructura de espacio topológico cuando $M$ la tiene pues es un subespacio del producto cartesiano $M^n=M\times M\times \cdots \times M$. Esto representa el inicio en la aplicación de métodos topológicos a temas de la robótica. Una observación importante es que si $M$ es una variedad diferenciable de dimensión $m$, entonces el espacio $F(M,n)$ es una variedad de dimensión $mn$.

Gráfica

Supongamos que los robots tienen sólo un grado de libertad; es decir, se mueven en un espacio ambiente $1$-dimensional. En nuestro planteamiento del espacio de configuraciones podemos suponer que los puntos que representan los robots se encuentran en una gráfica $G$. En términos reales, ésta situación corresponde a robots (o brazos mecánicos) moviéndose en rieles como ocurre en plantas ensambladoras de autos. Aunque $G$ no es una variedad diferenciable, el espacio de configuraciones $F(G,n)$ ha sido ampliamente estudiado por la topología, pudiendo obtener representaciones en $\mathbb{R}^3$ para algunos valores pequeños de $n$ y para el caso en que $G$ es un árbol o cuando contiene pocos ciclos. 

La fotografía que ilustra la presente nota corresponde a $F(G,7)$, donde $G$ es la gráfica determinada por los caminos que unen a los animales: tiene $12$ vértices y $11$ aristas.