Bestiario Topológico

Sea $X$ espacio topológico y $p\in X$ un punto distinguido. Definimos el grupo fundamental $\pi_1(X,p)$ como el conjunto de clases de homotopía de lazos basados en $p$ bajo la operación $[\alpha]*[\beta]=[\alpha*\beta]$, donde $\alpha*\beta$ es la concatenación de lazos y con el elemento identidad dado por la clase del lazo constante. La asociación $X\mapsto \pi_1(X,p)$ tiene un comportamiento funtorial : dado $Y$ espacio topológico y una función continua $f:X\to Y$ tal que $f(p)=q$ existe un homomorfismo $f_*:\pi_1(X,p)\to \pi_1(Y,q)$, de donde se obtiene que para todo espacio $Y$ homeomorfo a $X$ se tiene $\pi_1 (Y,q)\cong \pi_1(X,p)$. En el siguiente texto analizaremos de qué manera el punto base en $\pi_1(X,p)$ da origen a preguntas interesantes dentro de la teoría de grupos modulares ( mapping class groups ). Sean $S_g$ la superficie orientable de género $g$, $Top\:(S_g)$ el grupo de homeomorfismos de $S_g$ y $\Gamma(S_g)=Top\:(S_g)/\simeq $ su grupo modular (extendido)...

El espacio de configuraciones de un sistema mecánico es la representación matemática de la totalidad de estados del sistema. Este objeto es la base para estudiar el problema de la planeación de movimiento en Robótica, planteamiento que corresponde al área encargada del diseño, creación e implementación de algoritmos para el movimiento de un robot. La importancia de estos espacios radica en que la planeación de movimiento físico es cambiada a un problema de planeación de movimiento topológico .  Veámos a continuación un ejemplo: supongamos que queremos considerar el espacio de configuraciones $X$ de tres robots moviéndose ( sin colisionar ) en alguna región del plano $\mathbb{R}^2$. Representando a cada robot como un punto en $\mathbb{R}^2$, cada estado del espacio $X$ queda determinado por tercias de puntos de $X$ distintos entre sí; es decir, $$ X=\{(a,b,c)\in \mathbb{R}^2\times \mathbb{R}^2\times \mathbb{R}^2 \;|\; a\neq b, b\neq c, c\neq a\} $$ La descripción anteri...

En la década de 1880 la investigación en teoría de integración se centró principalmente en las propiedades de los conjuntos infinitos. El desarrollo de conjuntos densos en ninguna parte de contenido externo positivo, conocidos hoy en día como conjuntos densos en ninguna parte con medida positiva, permitió la construcción de funciones generales con el fin de ampliar la definición de Riemann de integral. Vito Volterra construyó, en 1881, un ejemplo de una función diferenciable F cuya derivada F'  es acotada pero no Riemann integrable.  Link:  Vito Volterra's function

El Grupo Modular de una Superficie

La historia de la teoría de conjuntos es bastante diferente comparada con la historia de la mayoría de las otras áreas de las matemáticas. Para la mayoría de las áreas por lo general se puede rastrear un largo proceso en el que las ideas evolucionan hasta alcanzar un resplandor final de inspiración, a menudo por un número de matemáticos casi simultáneamente, produciendo un descubrimiento de gran importancia. La teoría de conjuntos sin embargo, es bastante diferente. Su creación se debe a una sola persona, Georg Cantor. Antes de adentrarnos en la historia principal del desarrollo de la teoría de Cantor, primero examinamos algunas contribuciones preliminares. Georg Cantor La idea de infinito había sido objeto de una profunda reflexión desde la época de los griegos. Zenón de Elea, alrededor de 450 aC, con sus problemas en el infinito, hizo una importante contribución. En la Edad Media, la discusión del infinito había dado lugar a la comparación de conjuntos infinitos. Por ...

Las ideas topológicas están presentes en casi todas las áreas de las matemáticas actuales. El tema de la topología en sí consta de varias ramas diferentes, tales como la topología general, la topología algebraica y topología diferencial, las cuales tienen relativamente poco en común. En el presente artículo hablamos del origen de los conceptos topológicos en una serie de situaciones diferentes. Tal vez la primera obra que merece ser considerada como el inicio de la topología se debe a Euler. En 1736 Euler publicó un documento sobre la solución del problema de los puentes de Königsberg titulado Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis que se traduce en Español como La solución de un problema relacionado con la geometría de posición . El propio título indica que Euler era consciente de que estaba tratando con un tipo diferente de geometría donde la distancia no era relevante. Aquí está un diagrama de los puentes de Königsberg En dicho artículo Euler demo...

Taller de Resolución de Problemas by Juancarlos Ponce

Funciones trigonométricas by Juancarlos Ponce

Perspectiva histórica acerca del origen y evolución del concepto de derivada by Juancarlos Ponce

(Esta entrada es la continuación del tema sobre la noción de  variedad diferenciable ) Recordemos que una variedad diferenciable es el objeto obtenido al añadir dos estructuras a un conjunto, una topológica y una diferencial, con ciertas condiciones técnicas que comentaremos a continuación. Decimos que un espacio topológico $M$ es una $n$-variedad topológica  si es un espacio Hausdorff, segundo numerable y localmente Euclidiano de dimensión $n$. Es decir, para cada punto $x\in M$ existe una vecindad $U$ y un homeomorfismo $\varphi: U\rightarrow O$, con $O$ abierto de $\mathbb{R}^n$. Una pareja $(U,\varphi)$ es llamada una carta coordenada  para $M$ si $U$ es un subespacio abierto de $M$ y $\varphi$ es un homeomorfismo de $U$ a un abierto de $\mathbb{R}^n$. Primero recordemos que un espacio Hausdorff $M$ es aquel en el que para cada par de puntos distintos $x,y\in M$ existen subconjuntos abiertos ajenos $U,V$ tales que $p\in U$ y $q\in V$. La condición de ser...

El fenaquistiscopio , (palabra original del griego que significa: 'ilusorio') fue un juguete inventado por Joseph-Antoine Ferdinand Plateau  para demostrar su teoría de la persistencia de la visión. El siguiente applet, hecho en GeoGebra, es un ejemplo de dicho juguete. ¿Cómo funciona? 1. Modifica la revolución (giros) de la imagen hasta que observes una imagen continua o que tenga sentido para ti. 2. Cambia los discos. Para ver más applets de GeoGebra del mismo autor: Nicolas ERDRICH

William P. Thurston fue un matemático estadounidense pionero en el campo de la topología de variedades 3-dimensional, razón por la cual recibió la Medalla Fields en 1982.  Mientras trabajaba en la Universidad de Princeton escribió una serie de notas que se convertirían en referencia esencial para cualquier persona interesada en el estudio de la geometría y la topología de las variedades 3-dimensionales.  El título de la obra es: La geometría y la topología de variedades 3-dimensionales ( The geometry and topology of three-dimensional manifolds ). Actualmente existe una versión en inglés escrita en Latex que puede consultarse en el siguiente sitio: Notas de Thurston En el capítulo 6, sección 6.7, página 140, se puede encontrar el siguiente: Ejemplo:  Si $W$ es el vínculo Whitehead y $B$ es el anillo Borromean, entonces $S^3-W$ tiene una cubierta de cuatro hojas homeomórfica con una cubierta de dos hojas de $S^3-B$: (Esta imagen forma parte del ...