Homotopía (parte II)

En esta entrada continuaremos con lo expuesto antes sobre homotopía y definiremos un objeto de gran importancia dentro de la Topología Algebraica: el grupo fundamental de un espacio.

El grupo fundamental

Sean $X$ espacio topológico y $x_0,x_1\in X$. Un camino $\alpha$ de $x_0$ a $x_1$ es una función continua $\alpha:[0,1]\to X$ tal que $\alpha(0)=x_0, \alpha(1)=x_1$. El camino constante en $x\in X$ se define como $c_x(t)=x$ para todo $t\in [0,1]$. Dado un camino $\alpha$ se define su camino inverso $\overline{\alpha}$ como el camino de $x_1$ a $x_0$ dado por $\overline{\alpha}(t)=\alpha(1-t)$. Si $\beta$ es camino tal que $\alpha(1)=\beta(0)$ definimos el camino producto $\alpha*\beta$ como el camino dado por concatenación.

Usando que homotopía es una relación de equivalencia la multiplicación de caminos tiene la siguiente propiedades:

• Si $\alpha_1\simeq \alpha_2$ entonces $\overline{\alpha}_1\simeq \overline{\alpha}_2$.
• Si $\alpha_1\simeq \alpha_2,\;\beta_1\simeq \beta_2$, entonces $\alpha_1*\beta_1\simeq \alpha_2*\beta_2$
• Para $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ caminos en $X$, se cumple que $(\alpha_1*\alpha_2)*\alpha_3\simeq \alpha_1*(\alpha_2*\alpha_3)$
• El camino constante satisface $c_x*\alpha\simeq \alpha,\;\alpha\simeq \alpha *c_y$; de igual forma $\alpha*\overline{\alpha}\simeq c_x,\;\overline{\alpha}*\alpha\simeq c_y$.

Un camino $\alpha$ es llamado un lazo basado en $x_0$ si cumple que $\alpha(0)=\alpha(1)=x_0$. Dado $x_0\in X$ consideramos al espacio $\Omega(X,x_0)$ de lazos basados en $x_0$ y denotamos por $\pi_1(X,x_0)$ al cociente por la relación de homotopía; es decir, $\pi_1(X,x_0)=\{[\alpha]\;|\; \alpha\in \Omega(X,x_0)\}$.

Para elementos $[\alpha],[\beta]\in \pi_1(X,x_0)$ definimos la clase inversa y la multiplicación de clases mediante

                           $[\alpha]^{-1}=[\overline{\alpha}],\;\;[\alpha]*[\beta]=[\alpha*\beta]$

H. Poincaré (1854-1912)

Con lo mencionado arriba podemos notar que se tiene una estructura multiplicativa en $\pi_1(X,x_0)$, teniendo por elemento neutro a $e=[c_{x_0}]$. Con esto, $\pi_1(X,x_0)$ es llamado grupo fundamental de $X$ basado en $x_0$. Algunos autores lo llaman el grupo de Poincaré en honor a H. Poincaré quien sentó las bases de diversos conceptos de la Topología Algebraica.

Propiedades del grupo fundamental

Para dos puntos $x_0,x_1$ de un espacio topológico arco-conexo $X$ se tiene un isomorfismo $\pi_1(X,x_0)\cong \pi_1(X,x_1)$, el cual depende de (la clase de homotopía de) un camino que une a $x_0$ con $x_1$. No es difícil probar que el isomorfismo es independiente del camino elegido si, y sólo si, el grupo fundamental es abeliano. Debido a lo anterior, cuando $X$ es arco-conexo, su grupo fundamental tiene una notación más sencilla: $\pi_1X$.

El grupo fundamental de un espacio es un invariante homotópico en el sentido de que dos espacios del mismo tipo de homotopía tienen grupos fundamentales isomorfos (en particular, los espacios descritos en esta página tienen grupos fundamentales isomorfos). De igual manera, dos espacios homeomorfos tienen grupos fundamentales por lo que la asociación 

$X\longmapsto \pi_1X$ 

es un invariante topológico de $X$. Las propiedades de esta asociación hacen que (calcular) el grupo fundamental sea un tema de gran relevancia dentro de la Topología de Bajas Dimensiones (Teoría de Superficies, Teoría de Nudos, etc) como veremos a continuación.

Dada una función continua $f:X\to Y$ entre espacios topológicos (arco-conexos) definimos 

$f_*:\pi_1X\to \pi_1Y,\;\;[\alpha]\mapsto [f\circ \alpha]$

Es inmediato mostrar que $f_*$ es un homomorfismo de grupos; más aún,  para la composición $X\stackrel{f}{\to}Y\stackrel{g}{\to}Z$ se cumple que $(g\circ f)_*=g_*\circ f_*$. Es decir, la construcción del grupo fundamental de un espacio define un funtor covariante de la categoría de espacios topológicos (con punto base) y funciones continuas, a la categoría de grupos y homomorfismos de grupos.

Finalmente mencionaremos que la determinación (el cálculo) del grupo fundamental puede ser usado como un método para clasificar espacios topológicos: si dos espacios tienen grupos fundamentales no isomorfos entonces tales espacios no pueden homeomorfos.  Este método es usado en muchos textos para clasificar superficies (compactas).

El grupo fundamental $\pi_1X$ arroja información no sólo de la geometría de $X$ sino de la manera en que éste se relaciona con otros espacios. Además la asociación $X\to \pi_1X$ revela profundas e importantes relaciones entre la Geometría/Topología y el Álgebra (Teoría de Grupos), pero de eso hablaremos en publicaciones futuras.