Bestiario Topológico

Considera el sistema de ecuaciones diferenciales: $$\begin{eqnarray*} \frac{dx}{dt}&=&bx+\sin(y)\\ \frac{dy}{dt}&=&-by+\sin(z)\\ \frac{dz}{dt}&=&-bz+\sin(x) \end{eqnarray*} $$ donde $b=0.19$. El siguiente interactivo muestra una curva solución y partículas moviéndose con base en la solución de las ecuaciones diferenciales anteriores. Para conocer otros atractores sigue el siguiente enlace: Strange attractors

En esta entrada continuaremos con lo expuesto antes  sobre homotopía y definiremos un objeto de gran importancia dentro de la Topología Algebraica: el grupo fundamental de un espacio. El grupo fundamental Sean $X$ espacio topológico y $x_0,x_1\in X$. Un camino $\alpha$ de $x_0$ a $x_1$ es una función continua $\alpha:[0,1]\to X$ tal que $\alpha(0)=x_0, \alpha(1)=x_1$. El camino constante en $x\in X$ se define como $c_x(t)=x$ para todo $t\in [0,1]$. Dado un camino $\alpha$ se define su camino inverso $\overline{\alpha}$ como el camino de $x_1$ a $x_0$ dado por $\overline{\alpha}(t)=\alpha(1-t)$. Si $\beta$ es camino tal que $\alpha(1)=\beta(0)$ definimos el camino producto $\alpha*\beta$ como el camino dado por concatenación. Usando que homotopía es una relación de equivalencia la multiplicación de caminos tiene la siguiente propiedades: Si $\alpha_1\simeq \alpha_2$ entonces $\overline{\alpha}_1\simeq \overline{\alpha}_2$. Si $\alpha_1\simeq \alpha_2,\;\beta...

La siguiente animación muestra la curva conocida como la Mariposa y es generada por la ecuación polar: $$r=e^{\sin \theta}-2\cos(4\theta) +\sin^5\left(\frac{2\theta-\pi}{24}\right).$$ La animación está hecha con el lenguaje de programación  p5.js  

En esta (pequeña) entrada nos permitiremos traducir algunos párrafos del libro Calculus Made Easy de S.P. Thompson escrito en 1910 [1]. El título original del libro es: Calculus Made Easy: being a very-simplest introduction to those beautiful methods of reckoning which are generally called by the terrifying names of the Differential Calculus and the Integral Calculus cuya traducción podría ser: Cálculo Hecho Fácil: una introducción muy simple a aquellos hermosos métodos de conteo que generalmente son llamados con los terribles nombres de Cálculo Diferencial y Cálculo Integra l El primer capítulo, titulado To deliver you from the preliminary terrors (algo así como Para liberarte de los terrores preliminares ), consiste de dos páginas que nos disponemos a traducir pues rara vez puede encontrarse en los libros de texto explicaciones tan sencillas y a la vez tan ilustrativas: El terror preliminar, el cual asfixia a la mayoría de los chicos quinceañeros al intentar a...

Enlace GeoGebra:  https://ggbm.at/Pb7G63qT

El concepto de homotopía goza de una naturaleza geométrica muy intuitiva: homotopía es una deformación continua de objetos como espacios o funciones continuas. En esta entrada daremos la definición precisa y daremos ejemplos de homotopías. Homotopía para funciones Decimos que dos funciones continuas $f,g:X\to Y$ son homotópicas si existe una función continua                                                               $H:X\times I\to Y$ tal que $H(x,0)=f(x),\;H(x,1)=g(x),\forall x\in X$. La función $H$ es llamada una homotopía  entre $f$ y $g$ y se usa la notación $f\simeq_{H} g$ para designar a dos funciones homotópicas o simplemente $f\simeq g$ si la homotopía se sobreentiende o no hay necesidad de enfatizarla. Notemos que para cada $t\in I$, la homotopía $H$ determina una función continua $H_t:X\t...

Además de la importancia que tienen en la vida cotidiana, los nudos son objetos que pueden ser estudiados desde un punto de vista matemático y resultan de gran importancia en la Topología de Bajas Dimensiones. Definiciones y el grupo de nudo Un nudo es un subconjunto $K$ del espacio $\mathbb{R}^3$ homeomorfo a la circunferencia unitaria $S^1$. Notemos que del homeomorfismo de la definición se sigue que un nudo $K$ es una curva cerrada (termina en el mismo punto donde inició) y que no se intersecta a sí misma. Abajo un ejemplo de nudo, el nudo trébol (en una versión cúbica). Así como con otros objetos en las matemáticas es importante definir una relación de equivalencia entre nudos: dos nudos $K_1,K_2$ son llamados equivalentes si existe un homeomorfismo $h:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3$ tal que $h(K_1)=K_2$; es decir, dos nudos son equivalentes si uno puede deformarse continuamente en el otro. En la figura de abajo se muestran nudos equivalentes Un primer pro...

Jean Frédéric Frenet (1816-1900) y Joseph Alfred Serret (1819-1885) desarrollaron de manera independiente un conjunto de fórmulas para describir propiedades cinemáticas de una partícula que se mueve sobre una curva continua y diferenciable en tres dimensiones. Actualmente, estas fórmulas se conocen como Fórmulas de  Frenet-Serret : \[\frac{d\mathbf T}{ds}=k\mathbf N,\quad\frac{d\mathbf N}{ds}=-k\mathbf T+\tau\mathbf B\quad\text{y}\quad\frac{d\mathbf B}{ds}=\tau\mathbf N.\] donde $d/ds$ es la derivada con respecto a la longitud de arco, $k$ es la curvatura y $\tau$ es la torsión. Estas fórmulas describen una conexión entre las derivadas de los vectores unitarios tangente T , normal N y binormal B ; entre ellos mismos. En conjunto, a los tres vectores mencionados se les conoce como Frenet-Serret frame (que se podría traducir como: 'marco de Frenet-Serret'). La siguiente animación muestra el Frenet-Serret frame , el cual consiste de tres vectores. El vector azul represe...

Si se quisiera probar que las matemáticas se encuentran en todos lados se podría realizar el siguiente ejercicio: salir, con cámara en mano, a buscar una buena composición, tomar la fotografía y regresar a casa a tratar de representar el paisaje retratado desde un punto de vista matemático. El resultado puede ser de lo más variado y la eficacia del mismo dependerá, como siempre, de la mirada del ejecutante así como de su conocimiento en matemáticas. El trabajo ''Found Functions'' de Nikki Graziano es un ejercicio similar al arriba mencionado pero con la diferencia de que, en palabras de su autora, la intención en este caso fue crear algo que permitiera transmitir lo impresionante que son las matemáticas. El resultado: fotografías atractivas, interesantes tanto de un punto de vista estético como matemático. Aquí la representación matemática usada consiste en sobreponer la gráfica de ciertas funciones trigonométricas para aproximar los paisajes encontrado...