Bestiario Topológico

En esta entrada continuaremos con lo expuesto antes  sobre homotopía y definiremos un objeto de gran importancia dentro de la Topología Algebraica: el grupo fundamental de un espacio. El grupo fundamental Sean $X$ espacio topológico y $x_0,x_1\in X$. Un camino $\alpha$ de $x_0$ a $x_1$ es una función continua $\alpha:[0,1]\to X$ tal que $\alpha(0)=x_0, \alpha(1)=x_1$. El camino constante en $x\in X$ se define como $c_x(t)=x$ para todo $t\in [0,1]$. Dado un camino $\alpha$ se define su camino inverso $\overline{\alpha}$ como el camino de $x_1$ a $x_0$ dado por $\overline{\alpha}(t)=\alpha(1-t)$. Si $\beta$ es camino tal que $\alpha(1)=\beta(0)$ definimos el camino producto $\alpha*\beta$ como el camino dado por concatenación. Usando que homotopía es una relación de equivalencia la multiplicación de caminos tiene la siguiente propiedades: Si $\alpha_1\simeq \alpha_2$ entonces $\overline{\alpha}_1\simeq \overline{\alpha}_2$. Si $\alpha_1\simeq \alpha_2,\;\beta...

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El concepto de homotopía goza de una naturaleza geométrica muy intuitiva: homotopía es una deformación continua de objetos como espacios o funciones continuas. En esta entrada daremos la definición precisa y daremos ejemplos de homotopías. Homotopía para funciones Decimos que dos funciones continuas $f,g:X\to Y$ son homotópicas si existe una función continua                                                               $H:X\times I\to Y$ tal que $H(x,0)=f(x),\;H(x,1)=g(x),\forall x\in X$. La función $H$ es llamada una homotopía  entre $f$ y $g$ y se usa la notación $f\simeq_{H} g$ para designar a dos funciones homotópicas o simplemente $f\simeq g$ si la homotopía se sobreentiende o no hay necesidad de enfatizarla. Notemos que para cada $t\in I$, la homotopía $H$ determina una función continua $H_t:X\t...

Además de la importancia que tienen en la vida cotidiana, los nudos son objetos que pueden ser estudiados desde un punto de vista matemático y resultan de gran importancia en la Topología de Bajas Dimensiones. Definiciones y el grupo de nudo Un nudo es un subconjunto $K$ del espacio $\mathbb{R}^3$ homeomorfo a la circunferencia unitaria $S^1$. Notemos que del homeomorfismo de la definición se sigue que un nudo $K$ es una curva cerrada (termina en el mismo punto donde inició) y que no se intersecta a sí misma. Abajo un ejemplo de nudo, el nudo trébol (en una versión cúbica). Así como con otros objetos en las matemáticas es importante definir una relación de equivalencia entre nudos: dos nudos $K_1,K_2$ son llamados equivalentes si existe un homeomorfismo $h:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3$ tal que $h(K_1)=K_2$; es decir, dos nudos son equivalentes si uno puede deformarse continuamente en el otro. En la figura de abajo se muestran nudos equivalentes Un primer pro...