Bestiario Topológico

En palabras de G. Carlsson: "Humans are really good at recognizing deformation invariant properties". Debido a esta habilidad, los humanos podemos leer una palabra independientemente de la fuente que haya sido usada al escribirla: topología topología topología topología topología topología topología topología topología La cita fue tomada del video de Gunnar Carlsson sobre el Análisis Topológico de Datos: 

En matemáticas aplicadas, la transformación de Joukowsky , llamada así por Nikolai Zhukovsky (quien la publicó en 1910), es un mapeo conforme utilizado históricamente para entender algunos principios del diseño aerodinámico. La transformación es $$ f(z) = z + \frac {1} {z},$$ donde $ z = x + iy$. Esta transformación también se llama mapeo de Joukowsky, transformada de Joukowski y otras variaciones. En aerodinámica, esta transformación se utiliza para resolver el flujo de potencial bidimensional en torno a una clase de superficies aerodinámicas conocidas como alerones de Joukowsky (Joukowsky Airfoil). Un alerón de Joukowsky se genera en el plano complejo $w$ aplicando la transformación Joukowsky a un círculo en el plano $z$. Las coordenadas del centro del círculo son variables, y al modificarlas se modifica la forma del perfil aerodinámico resultante. El círculo encierra el punto $z = -1$ (donde la derivada es cero) e interseca el punto $z=1$. Esto se puede lograr para c...

En esta entrada continuaremos con lo expuesto antes  sobre homotopía y definiremos un objeto de gran importancia dentro de la Topología Algebraica: el grupo fundamental de un espacio. El grupo fundamental Sean $X$ espacio topológico y $x_0,x_1\in X$. Un camino $\alpha$ de $x_0$ a $x_1$ es una función continua $\alpha:[0,1]\to X$ tal que $\alpha(0)=x_0, \alpha(1)=x_1$. El camino constante en $x\in X$ se define como $c_x(t)=x$ para todo $t\in [0,1]$. Dado un camino $\alpha$ se define su camino inverso $\overline{\alpha}$ como el camino de $x_1$ a $x_0$ dado por $\overline{\alpha}(t)=\alpha(1-t)$. Si $\beta$ es camino tal que $\alpha(1)=\beta(0)$ definimos el camino producto $\alpha*\beta$ como el camino dado por concatenación. Usando que homotopía es una relación de equivalencia la multiplicación de caminos tiene la siguiente propiedades: Si $\alpha_1\simeq \alpha_2$ entonces $\overline{\alpha}_1\simeq \overline{\alpha}_2$. Si $\alpha_1\simeq \alpha_2,\;\beta...

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El helicoide puede ser continuamente deformado en un catenoide mediante la transformación $x(u,v)= \cos \alpha \,\text{senh}\, v \,\text{sen}\, u+  \text{sen}\,  \alpha\, \text{cosh}\, v \,\cos u$ $y(u,v)=- \cos \alpha\, \text{senh}\, v\, \cos u+  \text{sen}\,  \alpha \,\text{cosh}\, v\, \text{sen} \, u$ $y(u,v)=u\, \cos \alpha +v \, \text{sen}\, \alpha.$ Donde $\alpha = 0$ corresponde a un helicoide y $\alpha = \pi / 2$ a un catenoide. https://ggbm.at/dEhwEJvJ

Además de la importancia que tienen en la vida cotidiana, los nudos son objetos que pueden ser estudiados desde un punto de vista matemático y resultan de gran importancia en la Topología de Bajas Dimensiones. Definiciones y el grupo de nudo Un nudo es un subconjunto $K$ del espacio $\mathbb{R}^3$ homeomorfo a la circunferencia unitaria $S^1$. Notemos que del homeomorfismo de la definición se sigue que un nudo $K$ es una curva cerrada (termina en el mismo punto donde inició) y que no se intersecta a sí misma. Abajo un ejemplo de nudo, el nudo trébol (en una versión cúbica). Así como con otros objetos en las matemáticas es importante definir una relación de equivalencia entre nudos: dos nudos $K_1,K_2$ son llamados equivalentes si existe un homeomorfismo $h:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3$ tal que $h(K_1)=K_2$; es decir, dos nudos son equivalentes si uno puede deformarse continuamente en el otro. En la figura de abajo se muestran nudos equivalentes Un primer pro...