Joukowsky Airfoil (Alerón)

En matemáticas aplicadas, la transformación de Joukowsky, llamada así por Nikolai Zhukovsky (quien la publicó en 1910), es un mapeo conforme utilizado históricamente para entender algunos principios del diseño aerodinámico.

La transformación es
$$ f(z) = z + \frac {1} {z},$$
donde $ z = x + iy$. Esta transformación también se llama mapeo de Joukowsky, transformada de Joukowski y otras variaciones.

En aerodinámica, esta transformación se utiliza para resolver el flujo de potencial bidimensional en torno a una clase de superficies aerodinámicas conocidas como alerones de Joukowsky (Joukowsky Airfoil). Un alerón de Joukowsky se genera en el plano complejo $w$ aplicando la transformación Joukowsky a un círculo en el plano $z$. Las coordenadas del centro del círculo son variables, y al modificarlas se modifica la forma del perfil aerodinámico resultante. El círculo encierra el punto $z = -1$ (donde la derivada es cero) e interseca el punto $z=1$. Esto se puede lograr para cualquier posición central permitida  variando el radio del círculo.

Cilindro

Alerón (Airfoil)
En el siguiente applet puedes mover el centro del círculo a diferentes posiciones. Mueve el deslizador para aplicar la transformación de Joukowsky y observa lo que sucede. En este caso, el círculo está definido como $|z-c|\leq r$, donde $c=x+iy$ es el centro que varía y $r=0.23\sqrt{26}$.



En el siguiente applet puedes observar el flujo de partículas determinadas por un campo de velocidad. Este se trata de un flujo uniforme con circulación $C$ alrededor de un cilindro (corte transversal) y con velocidad $U$. Para agregar partículas solo haz click con el botón del ratón. Mueve los deslizadores y observa los cambios en el flujo. Para aplicar la transformación de Joukowsky y transformar el cilindro en un alerón (airfoil), mueve el deslizador T. 

Referencia

Joukowsky, N.E. (1910). "Über die Konturen der Tragflächen der Drachenflieger". Zeitschrift für Flugtechnik und Motorluftschiffahrt. 1: 281–284 and (1912) 3: 81–86.

The Joukowsky Airfoil: http://mathfaculty.fullerton.edu/mathews/c2003/JoukowskiTransMod.html

Comentarios

  1. Hola ¿Qué significan los puntos negros en el primer applet?

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    1. Buena pregunta. Voy a cambiar el color de los puntos para diferenciarlos. Dos de ellos, ahora verdes, son z_1=-2 y z_2=2. El otro es el centro de un círculo que se transforma en el alerón. Lo puse para mover el círculo, antes de transformarlo y saber que ahí me dará un alerón.

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  2. y por cierto están muy padres las animaciones!

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