Representación de funciones complejas usando el método de dominio coloreado

Esquema HSL:


$z$
$z+1/z$
$1/z$
$z^{1/2}$
$z^6+1$
$(z-1)/(z^2+z+1)$

Esquema HSV con retrato de fase, curvas de nivel del módulo y fase de la función $(z-1)/(z^2+z+1)$:


Retrato de fase simple
Retrato de fase con curvas de nivel del módulo $|f|$
Retrato de fase con curvas de nivel de $\text{Arg}(f(z))$
Retrato de fase combinado

Esquema HSV para visualizar ramas y puntos de corte de funciones multivaluadas:



Rama 1
Rama 2
$z^{1/2}$


Rama principal
$\log z$

Rama principal
$\tan z$

Esquema HSV para la clasificación de singularidades:

$(1-\cosh z)/z^3$
Singularidad orden 1
$\exp(2z)/(z-1)^2$
Singularidad orden 2
$\sinh z/z^4$
Singularidad orden 3

$(1-\cos z)/z^2$
Singularidad removible
$\exp(1/z)$
Singularidad esencial


Esquema HSV con curvas de nivel de las componentes real e imaginara y el módulo $|f(z)|$:

$z^2$
$\log((z-1)/(z+1))$
$z+1/z$

Miscelánea de funciones:

$\frac{(1/z)^{18}-(1/z)}{1/z-1}$
$\sum_{n=1}^{20}\frac{z^n}{1-z^n}$

$\sin(1/z^2)$
$\sqrt{1-1/z^2+z^3}$
$\frac{(z-2-i)^2(z^2-1)}{z^2+2+i}$

$z^{2/3+i}$
$\sqrt{1-z^2}$
$\frac{z+i}{z-1}$
$\exp(1-z^2)-1$

Todas las imágenes anteriores fueron creadas con GeoGebra. Applets interactivos en línea se pueden encontrar en el siguiente enlace:

Español - Dominio coloreado
Inglés - Domain coloring

Las versiones en línea son un poco lentas, por lo que recomiendo descargarlos a tu computadora. Para ello usa el enlace:

Español - Descarga applets
Inglés - Download applets

Referencias

  1. Ablowitz, M. J. & Fokas, A. S. (2003). Complex variables: introduction and applications (2nd ed). Cambridge University Press.
  2. Breda, A. Trocado, A. & Santos, J. (2013). O GeoGebra para além da segunda dimensão. Indagatio Didactica, 5(1). Recuperado el 12 de junio de 2018, de http://revistas.ua.pt/index.php/ID/article/view/2421 
  3. Crone, L. (s.f) Color graphs of complex functions. http://fs2.american.edu/lcrone/www/ComplexPlot.html 
  4. Farris, F. (1997). Visualizing complex-valued functions in the plane. Recuperado el 12 de junio de 2018, de http://www.maa.org/pubs/amm_complements/complex.html 
  5. Farris, F. A. (1998). Review of Visual Complex Analysis. By Tristan Needham. American Mathematical Monthly 105 (1998), 570–576.
  6. Losada Liste, R. (2014). El color dinámico de GeoGebra. Gaceta De La Real Sociedad Matemática Española, 17, 525–547, Madrid. Recuperado el 12 de junio de 2018, de http://www.geogebra.es/color_dinamico/Color%20dinamico%20-%20GacRSocMatEsp.pdf
  7. Lundmark, H. (2004). Visualizing complex analytic functions using domain coloring. Recuperado el 12 de junio de 2018, de http://users.mai.liu.se/hanlu09/complex/domain_coloring.html 
  8. Needham, T. (1997). Visual Complex Analysis. Oxford University Press, Oxford.
  9. Marsden, J. E. & Hoffman, M. J. (1987) Basic Complex Analysis. (2nd ed.) W. H. Freeman and Co, New York.
  10. Wegert, E. (2010). Phase diagrams of meromorphic functions. Comput. Methods Funct. Theory 10, 639-661.
  11. Wegert, E. (2012). Visual Complex Functions: An introduction with phase portraits. New York: Springer Basel. 
  12. Wegert, E. & Semmler, G. (2011). Phase plots of complex functions: a journey in illustration. Notices Amer. Math. Soc. 58, 768-780.
  13. Wikipedia: Domain Coloring Recuperado el 12 de junio de 2018, de https://en.wikipedia.org/wiki/Domain_coloring



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