Bestiario Topológico

En esta nota hablaremos acerca de la teoría de homología para espacios topológicos; daremos su definición, algunos cálculos sencillos y hablaremos de ciertas aplicaciones inmediatas. A  lo largo de este texto $R$ denotará un anillo conmutativo con identidad.  Definiciones En términos generales, la homología de un espacio $X$ es la construcción de un funtor covariante $$ \mathcal{Top}\longrightarrow R\mathcal{Mod},\qquad X\mapsto H_*(X;R)=\{H_0(X;R),H_1(X;R), \ldots\} $$ que asocia a cada espacio topológico $X$ una colección de $R$-módulos. De manera particular,  dicho funtor se construye en dos pasos: $\bullet$ A partir de $X$, y dependiendo si tiene una estructura diferenciable, continua o combinatoria, se construye un complejo de cadenas de $R$-módulos: $$ \cdots \stackrel{}{\longrightarrow} C_{q+1}(X;R)\stackrel{\partial_{q+1}}{\longrightarrow} C_q(X;R)\stackrel{\partial_q}{\longrightarrow}C_{q-1}(X;R)\stackrel{}{\longrightarrow}$$ Es decir, una colección de ...

Sean $\mathbb{F}$ un campo y $n$ entero positivo. Para un elemento $f\in\mathbb{F}[x_1, \ldots,x_n]$, en el anillo de polinomios con coeficientes en $\mathbb{F}$, consideramos $$D(f):=\{(a_1,a_2,\ldots, a_n)\in \mathbb{F}^n\;|\; f(a_1,a_2,\ldots, a_n)\neq 0\},$$ llamados conjuntos abiertos distinguidos . Afirmación : la colección $\mathcal{D}:=\{D(f)\;|\; f\in\mathbb{F}[x_1, \ldots,x_n]\}$ es una base para una topología en $\mathbb{F}^n$. Solución. Para el polinomio constante $1=1+0x_1+\cdots 0x_n$ se tiene que $D(1)=\mathbb{F}^n$. Por otro lado, para $D(f),D(g)\in \mathcal{D}$ tomamos el producto $f\cdot g$ de los polinomios correspondientes y notamos que $D(f)\cap D(g)=D(f\cdot g)$; asi que $D(f)\cap D(g)\in \mathcal{D}$. $\blacksquare$ La topología obtenida de este modo es llamada la topología (por abiertos) de Zariski ; algunos autores prefieren definir dicha topología considerando los cerrados  $$V(f):=\mathbb{F}^n\backslash D(f)=\{(a_1,a_2,\ldots, a_n)\in \mathbb{F}^n\;|\; f...

 Henry miró el reloj. Dos de la madrugada. Cerró el libro con desesperación. Seguramente que mañana sería reprobado. Entre más quería hundirse en la geometría, menos la entendía. Dos fracasos ya, y sin duda iba a perder un año. Sólo un milagro podría salvarlo. Se levantó ¿Un milagro? ¿Y por qué no? Siempre se había interesado en la magia. Tenía libros. Había encontrado instrucciones sencillísimas para llamar a los demonios y someterlos a su voluntad. Nunca había hecho la prueba. Era el momento: ahora o nunca. Sacó del estante el mejor libro sobre magia negra. Era fácil. Algunas fórmulas. Ponerse al abrigo en un pentágono. El demonio llega. No puede nada contra uno, y se obtiene lo que se quiera. Probemos. Movió los muebles hacia la pared, dejando el suelo limpio. Después dibujó sobre el piso, con un gis, el pentágono protector. Y después, pronunció las palabras cabalísticas. El demonio era horrible de verdad, pero Henry hizo acopio de valor y se dispuso a dictar su voluntad. - Siem...

En palabras de G. Carlsson: "Humans are really good at recognizing deformation invariant properties". Debido a esta habilidad, los humanos podemos leer una palabra independientemente de la fuente que haya sido usada al escribirla: topología topología topología topología topología topología topología topología topología La cita fue tomada del video de Gunnar Carlsson sobre el Análisis Topológico de Datos: 

Parte 2: Figuras geométricas y colores Traslación, rotación y escala de figuras geométricas en el plano La posición y tamaño de las figuras geométricas que podemos dibujar en  p5.js  se determinan con base en coordenadas y parámetros. Si deseamos cambiar la posición o tamaño de estas figuras, simplemente cambiamos sus coordenadas o parámetros. Alternativamente, podemos cambiar el sistema de coordenadas definido por defecto para obtener el mismo resultado. De hecho, podemos crear diferentes transformaciones incluyendo translación, rotación y escala. Traslación La función translate() , por ejemplo, cambia el sistema de coordenadas directamente como se muestra en la siguiente imagen: En el siguiente ejemplo notemos como el rectángulo se dibuja en la coordenada (0,0), pero se mueve se mueve con respecto a la posición del ratón en el lienzo, porque este es afectado por la función translate() : Nota: La variable de sistema mouse...

Parte 1: Introducción Figuras geométricas y colores Es momento de dibujar algunas figuras geométricas con  p5.js . El código predefinido en el editor puede resultar un poco aburrido, así que ahora dibujaremos algunas figuras geométricas para darle un poco de vida a nuestro sketch. Para esto escribiremos las siguientes dos líneas dentro de nuestra función draw() : ellipse(80, 190, 180, 100); rect(130, 130, 200, 200); No es difícil deducir que estas funciones dibujarán una elipse y un rectángulo, respectivamente: Los parámetros de la función elipse tienen los siguientes significados: Parámetro 1: la posición X de la esquina superior izquierda del rectángulo Parámetro 2: la posición Y de la esquina superior izquierda del rectángulo Parámetro 3: el ancho de la elipse Parámetro 4: la altura de la elipse Para el caso de la función rectángulo tenemos que: Parámetro 1: la posición X de la esquina superior izq...

Introducción En los últimos 20 años han surgido varios proyectos de acceso libre y gratuito con el objetivo de facilitar el aprendizaje de los elementos esenciales de los lenguajes de programación de manera sencilla. Esto se debe a la gran demanda de programadores que se ha generado como consecuencia del desarrollo acelerado de la tecnología computacional y digital. Uno de estos proyectos es el de Casey Reas y Ben Fry quienes, en 2001, empezaron a trabajar en una nueva plataforma para hacer más fácil la programación de gráficas interactivas; la cual nombraron Processing . En McCarthy, Reas, y Fry (2018) se narra que Reas y Fry se encontraban frustrados con lo difícil que era escribir software con los lenguajes de programación que se usaban en ese entonces (como C++ y Java) y fueron inspirados por lo simple que era escribir programas interesantes con los lenguajes que habían aprendido en su niñez (Logo y BASIC). Esencialmente Processing es un lenguaj...

Tenemos el gusto de presentar este proyecto: Invitación a la Topología General Este material ha sido elaborado para usarse como notas de curso para las materias de Topología que se imparten en la Unidad Académica de Matemáticas de la Universidad Autónoma de Zacatecas. Sin embargo, esperamos que sea de utilidad a cualquier persona interesada en estudiar esta hermosa rama de las matemáticas.

Introducción teórica Un péndulo simple es aquel que tiene una barra rígida , ingrávida y no experimenta fricción . Se piensa que todo el peso del péndulo simple se concentra en su masa sujeta al extremo, representada por lo general con un objeto esférico. Como de costumbre, estamos simplificando demasiado el problema real para poder ver correctamente sus componentes esenciales. A continuación derivaremos una ecuación que nos dé la posición del péndulo en función del tiempo, pero primero debemos decidir qué sistema de coordenadas podemos usar. Puede parecer que el sistema cartesiano $xy$ habitual puede ser útil aquí, pero debemos tener algo de cuidado. Nuestra tarea es encontrar la posición en función del tiempo. Si la posición en sí está dada por dos coordenadas, $x$ e $y$, entonces terminaremos con un problema que involucra tres variables : $x$, $y$ para la posición y $t$ para el tiempo. Si podemos evitar esto, estaríamos mejor. Después de todo, probl...

Hace unos meses conocí por medio de Twitter a Sophia Wood. En su página Fractal Kitty se pueden encontrar temas muy interesantes de matemáticas y de programación. También puedes encontrar animaciones relacionadas con las matemáticas y simulaciones en JavaScript para la educación. https://fractalkitty.com/ Si exploras las distintas secciones también podrás encontrar dibujos artísticos contemplando diferentes temas de matemáticas: https://fractalkitty.com/comics/

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