Ilusión de movimiento: Proyección ortográfica


Es posible realizar proyecciones del espacio tridimensional sobre el plano de dos dimensiones, las cuales se denominan Proyecciones ortográficas.

Las proyecciones ortogonales son muy útiles para describir el movimiento de objetos que se mueven en el espacio por medio de una proyección al plano. También se utilizan para realizar animaciones de objetos en tercera dimensión. Aunque en realidad, lo que se crea es una ilusión de movimiento tridimensional.

Las transformaciones de las coordenadas de un punto (o puntos) del espacio se realizan mediante un cambio de origen (o transformación lineal), cambio de escala, y giros respecto a los ejes (de la misma forma se pueden hacer transformaciones en el plano).


Es posible mover los planos $XY$, $YZ$ y $XZ$ con respecto a tres ángulos diferentes $\alpha$, $\beta$,  y $\gamma$, respectivamente. Para ello se pueden utilizar las siguientes matrices:
$$A=\left(\begin{array}{ccc}
  1 & 0 & 0\\
  0 & \cos  \alpha & -\sin \alpha \\
  0 & \sin \alpha   & \cos  \alpha
  \end{array}\right)\;\;\;\;\;
B=\left(\begin{array}{ccc}
  \cos  \beta & 0 & \sin \beta \\
  0 & 1 & 0 \\
 -\sin \beta  & 0  & \cos \beta
  \end{array}\right)\\
C=\left(\begin{array}{ccc}
  \cos  \gamma  & -\sin \gamma  & 0\\
 \sin \gamma  & \cos  \gamma & 0 \\
  0 & 0  & 1
  \end{array}\right)$$
Para mover un punto en el espacio $(x,y,z)$, primero se debe realizar la multiplicación de las matrices
$$M=A\cdot B\cdot C$$

Después, para obtener el nuevo punto $(x',y',z')$, se multiplica la matriz $M$ por $(x,y,z)$. Esto es
$$(x',y',z')=M\cdot(x,y,z)$$

La matriz $M$ tiene las siguientes entradas:
$$\left(\begin{array}{ccc}
  \cos \beta \cos \gamma  & -\cos \beta \sin \gamma  & \sin \beta \\
  \cos \alpha  \sin \gamma +\sin \alpha \sin \beta \cos \gamma & \cos \alpha \cos \gamma-\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma & -\sin \alpha  \cos \beta \\
 \sin \alpha  \sin \gamma -\cos \alpha  \sin \alpha  \cos \gamma  & \cos \alpha  \sin \beta  \sin \gamma +\sin \alpha  \cos \gamma  & \cos \alpha  \cos \beta
  \end{array}\right)\;\;
 $$
Si se desea mover un punto en el espacio $(x,y,z)$ con respecto a un solo ángulo, entonces se debe considerar  $\alpha=\beta=\gamma$.

Los siguientes applets, muestran las transformaciones de una base ortonormal y de un punto $(x,y,z)$ en el espacio tridimensional.
Applet: Mover los puntos de las elipses. También se puede mover el punto de intersección de los tres vectores. Ver como applet html: Applet Geogebra

Applet: Se puede interactuar con los ángulos, la escala y los valores que determinan las coordenadas del punto P(x,y,z). También se puede cambiar la posición del origen. Ver como applet html: Applet Geogebra.

Applet: Este es un ejemplo donde se puede utilizar las proyecciones ortográficas Applet GeoGebra

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