Raíces de números complejos

Consideremos $z=a+ib$ un número complejo. El número $z$ se puede escribir en su forma polar como

\[z=r(\cos \theta +i \,\text{sen}\, \theta)\]

donde $r=\sqrt{a^2+b^2}$ y $\theta$ es el ángulo, en radianes, determinado por el eje positivo $x$ y el segmento que une al origen con el punto $z$.

Ahora, la fórmula de Moivre establece que si $z=r(\cos \theta +i\,\text{sen}\, \theta)$ y $n$ es un número entero positivo, entonces

\[z^n=r^n(\cos n\theta+i\,\text{sen}\, n\theta).\]

Sea $w$ un número complejo. Usando la fórmula de Moivre nos ayudará a resolver la ecuación $z^n=w$ para $z$ cuando $w$ es un número complejo dado. Supongamos que $w=r(\cos \theta +i\,\text{sen}\, \theta)$ y $z=\rho (\cos \psi +i\,\text{sen}\, \psi)$. Entonces por la fórmula de Moivre tenemos $z^n=\rho^n(\cos n\psi+i\,\text{sen}\, n\psi)$. De aquí se sigue que $\rho^n=r=|w|$, por la unicidad de la representación polar, y $n\psi = \theta +k(2\pi)$, donde $k$ es un entero. De esta manera

\[z=\sqrt[n]{r}\left[\cos\left(\frac{\theta}{n}+\frac{2k\pi}{n}\right)+i\,\text{sen}\,\left(\frac{\theta}{n}+\frac{2k\pi}{n}\right) \right]\]

Cada valor de $k=0,1,2,\ldots ,n-1$ determina un valor diferente de $z$. Para cualquier otro valor de $k$ simplemente se repite uno de los valores de $z$ correspondiente $k=0,1,2,\ldots ,n-1$. De esta manera, existen exactamente $n$ raíces de un número complejo diferente de 0.

El número complejo $z$ se puede escribir también en su forma exponencial como

\[z=re^{i\theta}\]

dado que $e^{i\theta}=\cos \theta +i \,\text{sen}\, \theta$.

De esta forma, las $n$ raíces de un número complejo diferente de cero $z$ también se pueden expresar como

\[z=\sqrt[n]{r}\;\mbox{exp}\left[i\left(\frac{\theta}{n}+\frac{2k\pi}{n}\right)\right]\]

donde $k=0, 1, 2, \ldots , n-1$.

En el siguiente applet, se puede observar la representación geométrica de las $n$ raíces de algunos números complejos. Cambia los valores de las partes real e imaginaria de $z$ y el número $n$ de la raíz. Puedes intentar algunos ejemplos como los siguientes:

1. Re(z)=1/2, Im(z)=1.72, n=3; 
2. Re(z)=sqrt(2), Im(z)=pi, n=7.

Enlace al applet de GeoGebra: https://www.geogebra.org/m/Nn3P8sje