La función de las palomitas (Thomae)

En 1875, el matemático alemán Carl Johannes Thomae (1840-1921) publicó el libro titulado Einleitung In Die Theorie Der Bestimmten Integrale, en el cual presenta un ejemplo muy simple, pero provocativo,  de una función continua en todos los números irracionales y discontinua en todos los números racionales. Thomae introdujo su ejemplo con el siguiente preámbulo: <<Existen muchos ejemplos de funciones que son continuas o discontinuas en puntos aislados, pero es importante identificar funciones integrables que son discontinuas en un conjunto de puntos numerable>>.

Carl Johannes Thomae

Thomae definió su función en el intervalo abierto $(0,1)$ como $f(x)=0$, si $x$ es irracional y $f(x)=1/q$ si $x =p/q$ y mcd$(p,q)=1$. De esta manera, tenemos que 

$$f\left(\frac15\right)=f\left(\frac25\right)=f\left(\frac{4}{10}\right)=\frac15,$$

mientras que $f(\pi/6)=f(1/\sqrt{2})=0$. Es técnicamente imposible hacer la gráfica de la función de Thomae, pero al menos podemos dar una representación parcial de la gráfica en el plano cartesiano, tal y como se muestra en la Figura 1, en donde se puede apreciar la densidad de los valores de $f$ cercanos al eje $x$. 

Figura 1: Función de Thomae definida en $(0,1).$

Esta función es también es conocida como la función de las palomitas (nombre muy curioso), la función gotas de lluvia, la función de las nubes numerables, la función modificada de Dirichlet, la función de la regla, o las estrellas sobre Babilonia (por John Horton Conway). 

Una propiedad interesante de la función de Thomae es la siguiente:

Lema: Si $a$ es un punto en $(0,1)$, entonces 

$$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=0.$$ 

Demostración: Para $\epsilon>0$, elegimos un número entero $N$ tal que $1/N<\epsilon$. Notemos que en el intervalo $(0,1)$ solamente hay un número finito de racionales irreducibles cuyos denominadores igual, o menores que, $N$. Por ejemplo, las únicas fracciones cuyo  denominador es igual, o menor,  a $5$ son 

$$\frac12,\frac13,\frac23, \frac14,\frac34,\frac15,\frac25,\frac35,\text{ y }\frac45.$$

Dado que la colección es finita, podemos encontrar un número positivo $\delta$ suficientemente pequeño de tal manera que el intervalo $(a-\delta,a+\delta)$ está contenido en $(0,1)$ y además no contiene ninguna de estas fracciones, excepto posiblemente al número $a$.

Ahora elegimos cualquier número $x$ tal que $0<|x-a|<\delta$ y consideramos dos casos. Si $x=p/q$ es racional, e irreducible,  entonces

$$|f(x)-0|=|f(p/q)|=1/q<1/N<\epsilon$$

porque $q$ debe ser mayor que $N$. En este caso,  si $p/q\neq a$, entonces  

$$p/q\in (a-\delta,a+\delta).$$

Por otra parte, si $x$ es irracional, entonces también tenemos que $|f(x)-0|=0<\epsilon$. En cualquier caso, para $\epsilon >0$, hemos encontrado un $\delta>0$  tal que, si $0<|x-a|<\delta$, entonces $|f(x)-0|<\epsilon.$ Es decir,  $\lim_{x\rightarrow a}f(x)=0.$ Con esto terminamos la demostración.

Con ayuda del lema anterior podemos demostrar que la función de Thomae es continua en cada irracional en $(0,1)$ pero discontinua en cada racional en $(0,1)$. De hecho, esto se sigue inmediatamente dado que, si $a$ es irracional, entonces por el lema tenemos que $f(a)=0=\lim_{x\rightarrow a}f(x)$. Por otra parte, si $a$ es racional, e irreducible, entonces

$$f(a)=f(p/q)=1/q\neq 0=\lim_{x\rightarrow a}f(x)$$

y por lo tanto la función $f$ es discontinua en $a$.

Esto nos plantea una situación extraña: la función es continua en  puntos irracionales pero discontinua en  los racionales. A la mayoría de nosotros  nos resulta imposible imaginar cómo es que los puntos continuos/discontinuos pueden estar tan entrelazados. Pero las matemáticas que demuestran esta propiedad tan sorprendente, de la función de Thomae, son inequívocas.

Es posible extender el dominio de la función de Thomae, definida en el intervalo $(0, 1)$, para todos los números reales. Esto se realiza dejando que nuestra nueva  función tome el valor 1 en cada entero y colocando copias de $f$ en cada subintervalo $(-1,0),(1,2), (2,3),$ y así sucesivamente. Más precisamente, definimos la función extendida a $\mathbb R$ como $F(x)=1$ si $x$ es entero; $ F(x)=f(x-n)$ si $n<x<n+1$ para algún entero $n\geq 0$ y $F(x)=f(x+n+1)$ si $-(n+1)<x<-n$ para algún entero $n\geq 0$.

Una representación parcial de la gráfica de esta función se puede observar en la Figura 2. Como en el caso anterior, tenemos que $\lim_{x\to a}F(x)=0$ para cualquier número real, y además, $F$ es continua en cada irracional, pero discontinua en cada racional. 

Figura 2: Función de Thomae definida en $\mathbb R$.

A pesar de sus discontinuidades, la función $F$ es integrable, en el sentido de Riemann, en el intervalo $[0,1]$ y su valor es $0$. 

Referencia

Abbot, S. (2001). Understanding Analysis. Springer Science+Business Media Inc.

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