Ejercicio de Algebra: sobre divisores de cero en $R[X]$

Sea $R$ anillo conmutativo en el que $a^2=0$ solo cuando $a=0$. Muestre que si el polinomio

                                     $q(X)=a_0X^n+a_1X^{n-1}+\cdots +a_n\in R[X]$

es un divisor de cero, entonces existe un elemento $b\neq 0\in R$ tal que $ba_0=ba_1=\cdots=ba_n=0$.

Solucion: La hipotesis sobre el cuadrado de $a$ permite asegurar que todas las potencias de $a$ solo se anulan cuando $a=0$: supongamos que $a^t=0$ y notemos que

                                           $(a^{t-1})^2=a^{t-1}a^{t-1}=a^ta^ta^{-2}=0$

Asi, por hipotesis tenemos $a^{t-1}=0$. Aplicando un argumento de induccion vemos que $a^t=0$ solo cuando $a=0$.


Sea $p(X)=b_0X^m+b_1X^{m-1}+\cdots +b_m$ polinomio no cero, con $b_0\neq 0$, tal que $q(X)p(X)=0$. Al realizar el producto obtenemos que

                                                  $\begin{cases}
                                                      a_0b_0=0\\
                                              a_0b_1+a_1b_0=0\\
                                             a_0b_2+a_1b_1+a_2b_0=0\\
                                                          \vdots
                                                       \end{cases}$

Tomamos la segunda igualdad, multiplicamos por $b_0$:
                                                   $ a_0b_1b_0+a_1b_0^2=0$

para obtener que $a_1b_0^2=0$; en particular se tiene que $(a_1b_0^2)=0$ que por hipotesis implica que $a_1b_0=0$. Usando ahora la tercera igualdad de arriba, mutiplicando por $b_0^2$ se obtiene

                                        $ a_0b_2b_0^2+a_1b_1b_0^2+a_2b_0^3=0$

de donde $a_2b_0^3=0$; en particular, $(a_2b_0)^3=0$ y por tanto $a_2b_0=0$.



En general, usando las igualdades de arriba se tiene que $a_ib_0^i=0\Rightarrow (a_ib_0)^i=0\Rightarrow a_ib_0=0$, para $i=0,1,\ldots,n$. El resultado se obtiene haciendo $b=b_0$.


Pregunta: es necesario multiplicar en el $i$-esimo paso por $b^i$?,  no basta con multiplicar por $b_0$?

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