Bestiario Topológico

Introduction Esencialmente, el conjunto de Mandelbrot se genera iterando una función simple en los puntos del plano complejo. Los puntos que producen un ciclo (el mismo valor una y otra vez) pertenecen al conjunto, mientras que los puntos que divergen (dan valores cada vez mayores) se encuentran fuera de él. Cuando se traza en una pantalla de computadora en muchos colores (diferentes colores para diferentes tasas de divergencia), los puntos fuera del conjunto pueden producir imágenes de gran belleza. El límite del conjunto es una curva fractal de complejidad infinita, cualquier parte de la cual se puede explorar para revelar detalles cada vez más sobresalientes, incluidas las réplicas en miniatura del conjunto entero. El conjunto de Mandelbrot es sin duda el fractal más popular, y quizás el objeto más popular de las matemáticas contemporáneas de todos. Desde que Benoit B. Mandelbrot (1924-2010) lo descubrió en 1979-1980, mientras investigaba el mapeo complejo $z \rightarrow z^2 + c ...

Introducción En Variable Compleja se estudian las series de números complejos. Estas se pueden representar geométricamente usando segmentos de líneas y calculando sumas parciales. En algunos casos surgen patrones muy interesantes visualmente que pueden ser estudiados matemáticamente. Un ejemplo es el caso la suma exponencial de la forma $$\sum _{n=1}^{N}e^{2\pi i f(n)}$$ donde $f(n)$ es una función definida en el conjunto de los enteros positivos. Este tipo de sumas se utilizan en diferentes problemas de teoría de números. En esta entrada, mostraré algunos ejemplos y observaremos los gráficos de algunos casos que muestran simetrías muy interesantes y artísticas. Espirales y otros patrones geométricos de sumas exponenciales complejas Comencemos analizando la función $f(n)=(\ln n)^4$. Si tomamos $N=2400$, el gráfico que obtenemos es el siguiente: Este gráfico fue denominado como el "Monstruo del Lago Ness" por John Loxton en su artículo de 1981 [1]. Para explicar...

Polyhedra Viewer:  https://polyhedra.tessera.li/ Complexity Explorables:  http://www.complexity-explorables.org/ Extreme Learning:  http://extremelearning.com.au/ Mathigon:  https://mathigon.org/ Differenctial growth:  https://jasonwebb.github.io/2d-differential-growth-experiments/playground/ Mercator:  https://mercator.tass.com/ TeXnique:  https://texnique.xyz/ Tactile:  http://isohedral.ca/other/Spirals/ Imaginary, Math to Touch:  https://imaginary.org/program/math-to-touch Complex spirals: https://anvaka.github.io/e-sum/ Byrne's Euclid:  https://www.c82.net/euclid/ MathCell.org:  http://mathcell.org/ Complex Curves:  https://complexcurves.org/#/ Hackery Math and Design:  https://acko.net/ Seeing circles, sines and signals:  https://jackschaedler.github.io/circles-sines-signals/index.html Online neural network:  https...

Una introducción al concepto de epiciclos Considera un punto que se mueve sobre la circunferencia de un círculo. Si deseas expresar el movimiento de este punto en términos matemáticos, podemos decir que las coordenadas $x$ e $y$ del punto se pueden definir como:  \[ \begin{aligned} x(t) & = R\cos(\omega t)\\ y(t) & = R\mbox{ sen}(\omega t).\\ \end{aligned} \] Donde $R$ es el radio del disco y $\omega$ es la velocidad con la cual el punto está rotando. Este tipo de fórmula se denomina como ecuación paramétrica , si esta ecuación no te es familiar, valdrá la pena leer un como acerca de este tema antes de proseguir. Ahora veamos algo un poco más complejo: agreguemos un segundo círculo con su propio punto rotando en su circunferencia. Si trazamos el lugar geométrico de este segundo punto, podemos observar una especie de flor: No es difícil describir matemáticamente este trazo, o curva, un poco más complejo: la posición de este punto es solamente la sum...

Con la siguiente herramienta creada por Andrei Kashcha  @anvaka , puedes graficar campos vectoriales (independientes del tiempo). Pantalla completa:  https://anvaka.github.io/fieldplay/

Introducción Muchos fractales se forman realizando una acción simple una y otra vez, en una secuencia de pasos recursivos. En cada paso, el objeto inicial ( input ) puede ser una figura simple (una curva poligonal, por ejemplo) y el resultado ( output ) es una modificación de esa forma. A continuación presentamos un método para construir fractales con GeoGebra clásico. Para esto necesitaremos los siguientes comandos: Punto() Segmento() Secuencia() Elemento() Encadena() Longitud() Por supuesto, supondremos que tienes un conocimiento básico del programa. Si aún no lo conoces, te recomiendo el  Tutorial GeoGebra  donde puedes aprender los elementos básicos de GeoGebra clásico. Tampoco es necesario explicar aquí cada uno de los comandos mencionados arriba. Sin embargo, si deseas conocer los detalles de cada comando entonces consulta: Comandos GeoGebra. El conjunto de Cantor con GeoGebra Comencemos con el ejemplo más conocido: el conjunto de Cantor. Iniciamos nues...