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Mostrando las entradas de octubre, 2023

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La belleza de las ecuaciones diferenciales

De Carlos Ponce - octubre 27, 2023

$\dfrac{dx}{dt}= x - y - x (x^2 + y^2),\;\: \dfrac{dy}{dt}= x + y - y (x^2 + y^2)$

$\dfrac{dx}{dt}= ?,\;\: \dfrac{dy}{dt}=?$

$\dfrac{dx}{dt}= 1,\;\: \dfrac{dy}{dt}= y^2 - x^2$

$\dfrac{dx}{dt}= x - y,\;\: \dfrac{dy}{dt}= x + y$

$\dfrac{dx}{dt}= ?,\;\: \dfrac{dy}{dt}=?$

$\dfrac{dx}{dt}= x^2 - y^2,\;\: \dfrac{dy}{dt}= 2xy$ Become a member!

#citadelibro

De Miguel A. Maldonado - octubre 20, 2023

Euclides fundó su escuela en los tiempos de Ptolomeo I Soter, que reinó entre 313 y 283 antes de nuestra era. Se cuenta que, después de aprender las primeras lecciones de geometría, un estudiante preguntó el beneficio que obtendría de su aprendizaje. Euclides llamó a un esclavo y le dijo: "Dale tres monedas a este muchacho, pues necesita ganar algo de cada cosas que aprende". Texto tomado del libro En el principio la geometría , de Javier Bracho y José Antonio de la Peña, UNAM, 1996.

¿Qué es la teoría de Morse?

De Miguel A. Maldonado - octubre 07, 2023

En términos generales, la teoría de Morse trata del estudio de una variedad suave

$M$ a través de funciones continuas

$f:M\to \mathbb{R}$ ; en particular, estudia la relación que existe entre los puntos críticos de una función

$f$ con ciertos subespacios

$M_t$ , que forman una filtración para

$M$ . Algunos conceptos del cálculo Recordemos que la derivada de la función

$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ está dada por

$Df(x)= \frac{d}{dx}f(x)= \lim_{t\to 0} \frac{f(x+t)-f(x)}{t}$ Un punto

$x\in \mathbb{R}$ es crítico para

$f$ si

$Df(x)=0$ ; estos puntos son importantes pues representan los máximos y los mínimos de la función, equivalentemente, son los puntos donde la función cambia de dirección. En general, para una función de la forma

$f:\mathbb{R}^d\to \mathbb{R}$ , es posible definir puntos críticos a través de su campo vectorial gradiente : $$\nabla f:\mathbb{R}^d\to \mathbb{R}^d,\;\; x\mapsto \nabla f(x) = \left[\frac{df}{dx_1}(x),\frac{df}{dx_2}(...

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