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Mostrando las entradas de mayo, 2023

¿Qué es la homología?

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En esta nota hablaremos acerca de la teoría de homología para espacios topológicos; daremos su definición, algunos cálculos sencillos y hablaremos de ciertas aplicaciones inmediatas. A  lo largo de este texto $R$ denotará un anillo conmutativo con identidad.  Definiciones En términos generales, la homología de un espacio $X$ es la construcción de un funtor covariante $$ \mathcal{Top}\longrightarrow R\mathcal{Mod},\qquad X\mapsto H_*(X;R)=\{H_0(X;R),H_1(X;R), \ldots\} $$ que asocia a cada espacio topológico $X$ una colección de $R$-módulos. De manera particular,  dicho funtor se construye en dos pasos: $\bullet$ A partir de $X$, y dependiendo si tiene una estructura diferenciable, continua o combinatoria, se construye un complejo de cadenas de $R$-módulos: $$ \cdots \stackrel{}{\longrightarrow} C_{q+1}(X;R)\stackrel{\partial_{q+1}}{\longrightarrow} C_q(X;R)\stackrel{\partial_q}{\longrightarrow}C_{q-1}(X;R)\stackrel{}{\longrightarrow}$$ Es decir, una colección de ...
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La topología de Zariski

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Sean $\mathbb{F}$ un campo y $n$ entero positivo. Para un elemento $f\in\mathbb{F}[x_1, \ldots,x_n]$, en el anillo de polinomios con coeficientes en $\mathbb{F}$, consideramos $$D(f):=\{(a_1,a_2,\ldots, a_n)\in \mathbb{F}^n\;|\; f(a_1,a_2,\ldots, a_n)\neq 0\},$$ llamados conjuntos abiertos distinguidos . Afirmación : la colección $\mathcal{D}:=\{D(f)\;|\; f\in\mathbb{F}[x_1, \ldots,x_n]\}$ es una base para una topología en $\mathbb{F}^n$. Solución. Para el polinomio constante $1=1+0x_1+\cdots 0x_n$ se tiene que $D(1)=\mathbb{F}^n$. Por otro lado, para $D(f),D(g)\in \mathcal{D}$ tomamos el producto $f\cdot g$ de los polinomios correspondientes y notamos que $D(f)\cap D(g)=D(f\cdot g)$; asi que $D(f)\cap D(g)\in \mathcal{D}$. $\blacksquare$ La topología obtenida de este modo es llamada la topología (por abiertos) de Zariski ; algunos autores prefieren definir dicha topología considerando los cerrados  $$V(f):=\mathbb{F}^n\backslash D(f)=\{(a_1,a_2,\ldots, a_n)\in \mathbb{F}^n\;|\; f...
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Entradas populares

Galileo Galilei y su ley de caída libre

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1. Introducción Con respecto al estudio del movimiento de caída libre, el filósofo griego Aristóteles (384-322 aC) asumió que los objetos más pesados ​​caían más rápido que los más ligeros. Esta suposición se mantuvo durante casi 2000 años hasta que, a finales del siglo XVI, el matemático italiano  Galileo Galilei  (1564-1642)  demostró que en realidad todos los objetos caen al mismo tiempo sin importar el peso de estos. Corrientes de pensamiento con respecto al movimiento de caída libre Aristoteliana                                          Galileana Galileo estaba convencido de que en un espacio completamente libre de aire, dos cuerpos en caída libre cubrían distancias iguales en tiempos iguales sin importar su peso. Esto contradecía radicalmente las nociones aristotélicas acerca de la caída libre. Por supesto que en esa...
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Breve historia del Cálculo

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1. Introducción El historiador de las matemáticas Morris Kline considera al Cálculo, después de la geometría, como la creación más grande en todas las matemáticas [4, p. 342]. Generalmente se atribuye su invención principalmente a dos matemáticos del siglo XVII, el inglés Isaac Newton (1642-1727) y el alemán Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716). Sin embargo, esta es una excesiva y absurda simplificación de los hechos. En realidad el Cálculo, tal y como lo conocemos actualmente, es el producto de una larga evolución en la cual ciertamente estos dos personajes desempeñaron un papel decisivo [6]. Leibniz Newton En términos muy generales, el  Cálculo llegó para resolver y unificar los problemas de cálculo de áreas y volúmenes, el trazo de tangentes a curvas y la obtención de valores máximos y mínimos, proporcionando una metodología general para la solución de todos estos problemas; también permitió definir el concepto de continuidad y manejar...
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Una historia de la Teoría de Conjuntos

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La historia de la teoría de conjuntos es bastante diferente comparada con la historia de la mayoría de las otras áreas de las matemáticas. Para la mayoría de las áreas por lo general se puede rastrear un largo proceso en el que las ideas evolucionan hasta alcanzar un resplandor final de inspiración, a menudo por un número de matemáticos casi simultáneamente, produciendo un descubrimiento de gran importancia. La teoría de conjuntos sin embargo, es bastante diferente. Su creación se debe a una sola persona, Georg Cantor. Antes de adentrarnos en la historia principal del desarrollo de la teoría de Cantor, primero examinamos algunas contribuciones preliminares. Georg Cantor La idea de infinito había sido objeto de una profunda reflexión desde la época de los griegos. Zenón de Elea, alrededor de 450 aC, con sus problemas en el infinito, hizo una importante contribución. En la Edad Media, la discusión del infinito había dado lugar a la comparación de conjuntos infinitos. Por ...
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