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Mostrando las entradas de mayo, 2023

¿Qué es la homología?

En esta nota hablaremos acerca de la teoría de homología para espacios topológicos; daremos su definición, algunos cálculos sencillos y hablaremos de ciertas aplicaciones inmediatas. A  lo largo de este texto R denotará un anillo conmutativo con identidad.  Definiciones En términos generales, la homología de un espacio X es la construcción de un funtor covariante TopRMod,XH(X;R)={H0(X;R),H1(X;R),} que asocia a cada espacio topológico X una colección de R-módulos. De manera particular,  dicho funtor se construye en dos pasos: A partir de X, y dependiendo si tiene una estructura diferenciable, continua o combinatoria, se construye un complejo de cadenas de R-módulos: Cq+1(X;R)q+1Cq(X;R)qCq1(X;R) Es decir, una colección de ...

La topología de Zariski

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Sean F un campo y n entero positivo. Para un elemento fF[x1,,xn], en el anillo de polinomios con coeficientes en F, consideramos D(f):={(a1,a2,,an)Fn|f(a1,a2,,an)0}, llamados conjuntos abiertos distinguidos . Afirmación : la colección D:={D(f)|fF[x1,,xn]} es una base para una topología en Fn. Solución. Para el polinomio constante 1=1+0x1+0xn se tiene que D(1)=Fn. Por otro lado, para D(f),D(g)D tomamos el producto fg de los polinomios correspondientes y notamos que D(f)D(g)=D(fg); asi que D(f)D(g)D. La topología obtenida de este modo es llamada la topología (por abiertos) de Zariski ; algunos autores prefieren definir dicha topología considerando los cerrados  $$V(f):=\mathbb{F}^n\backslash D(f)=\{(a_1,a_2,\ldots, a_n)\in \mathbb{F}^n\;|\; f...

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