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Dos ejercicios de Topología General

De Miguel A. Maldonado - noviembre 19, 2016

1.- Sean

$X$ espacio topológico y

$A,B\subset X$ tales que

$X=A\cup B$ . Prueba que para

$M\subset A\cap B$ que es abierto de

$A$ y abierto de

$B$ se tiene que

$M$ es abierto de

$X$ . Solución . Por ser abierto relativo, existen

$U,V$ abiertos de

$X$ tales que

$M=A\cap U,\;\;M=B\cap V$ . Notemos que

$A\cap U\cap V=M\cap V=B\cap V\cap V =B\cap V=M$

$B\cap V\cap U=M\cap U=A\cap U\cap U =A\cap U=M$ De las relaciones anteriores se sigue que

$M=M\cup M=(A\cap U\cap V)\cup (B\cap U\cap V)$ ...

Nudos en el Toro

De Carlos Ponce - noviembre 06, 2016

En la teoría de nudos, un nudo de toro es un tipo especial de nudo que se encuentra en la superficie de un toro en

$\mathbb R^3$ . Cada nudo de toro se especifica por un par de números enteros coprimos

$p$ y

$q$ . Un enlace de toro surge si

$p$ y

$q$ no son coprimos (en cuyo caso el número de componentes es gcd

$(p, q)$ ). Un nudo de toro es trivial si y sólo si

$p$ o

$q$ es igual a

$1$ o

$-1$ . El ejemplo más simple no trivial es el nudo

$(2,3)$ -torus, también conocido como nudo de trébol. El nudo

$(p, q)$ -torus puede ser dado por la parametrización:

$x=r\cos(p\,\phi )$

$y=r\sin(p\,\phi )$

$z=-\sin(q\,\phi )$ donde

$r=\cos(q\,\phi)+2$ y

$0<\phi<2\pi$ . Esto se encuentra en la superficie del toro dada por

$(r-2)^{2} + z^{2} = 1$ (dada en coordenadas cilíndricas). En el siguiente applet puedes observar diferentes ejemplos del nudo

$(p, q)$ -torus. Cambia los valores de

$p$ y

$q$ . También puedes rotar la vista 3D haciendo click con el botón derecho del ratón. https://w...

Transformación de helicoide

De Carlos Ponce - noviembre 03, 2016

El helicoide puede ser continuamente deformado en un catenoide mediante la transformación

$x(u,v)= \cos \alpha \,\text{senh}\, v \,\text{sen}\, u+ \text{sen}\, \alpha\, \text{cosh}\, v \,\cos u$

$y(u,v)=- \cos \alpha\, \text{senh}\, v\, \cos u+ \text{sen}\, \alpha \,\text{cosh}\, v\, \text{sen} \, u$

$y(u,v)=u\, \cos \alpha +v \, \text{sen}\, \alpha.$ Donde

$\alpha = 0$ corresponde a un helicoide y

$\alpha = \pi / 2$ a un catenoide. https://ggbm.at/dEhwEJvJ

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