Bestiario Topológico

Sean $\alpha\neq 0,\:k$ entero positivo y consideremos el problema de calcular la integral $y=\int e^{\alpha x}P(x)dx,$ donde $P(x)=p_0+p_1x+\cdots+ p_kx^k$. El método natural consistiría en aplicar el Método de Integración por partes de manera iterada (de hecho, $k$ veces) pero mostraremos que usando la teoría de ecuaciones diferenciales puede obtenerse un método más directo. Aclaración : lo que a continuación se expone es tomado del libro Elementary Differential Equations  de William F. Trench, disponible aquí . Primero observemos que al derivar a $y$ se obtiene $y'=e^{\alpha x}P(x)$. Usando el método de Coeficientes Indeterminados escribimos $y=e^{\alpha x}u$; de donde se obtiene $(u'+\alpha u)e^{\alpha x}=e^{\alpha x}P(x)\Longleftrightarrow u'+\alpha u=P(x)$ Si $u_p$ es una solución particular de la última ecuación entonces $u_p$ se escribe como un polinomio $A_0+A_1x+ \cdots+A_kx^k$. Así, la ecuación anterior tiene la forma ...

Sea $X$ espacio topológico y $p\in X$ un punto distinguido. Definimos el grupo fundamental $\pi_1(X,p)$ como el conjunto de clases de homotopía de lazos basados en $p$ bajo la operación $[\alpha]*[\beta]=[\alpha*\beta]$, donde $\alpha*\beta$ es la concatenación de lazos y con el elemento identidad dado por la clase del lazo constante. La asociación $X\mapsto \pi_1(X,p)$ tiene un comportamiento funtorial : dado $Y$ espacio topológico y una función continua $f:X\to Y$ tal que $f(p)=q$ existe un homomorfismo $f_*:\pi_1(X,p)\to \pi_1(Y,q)$, de donde se obtiene que para todo espacio $Y$ homeomorfo a $X$ se tiene $\pi_1 (Y,q)\cong \pi_1(X,p)$. En el siguiente texto analizaremos de qué manera el punto base en $\pi_1(X,p)$ da origen a preguntas interesantes dentro de la teoría de grupos modulares ( mapping class groups ). Sean $S_g$ la superficie orientable de género $g$, $Top\:(S_g)$ el grupo de homeomorfismos de $S_g$ y $\Gamma(S_g)=Top\:(S_g)/\simeq $ su grupo modular (extendido)...