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Mostrando las entradas de julio, 2015

El Método de Integración por Partes iterado

De Miguel A. Maldonado - julio 04, 2015

Sean

$\alpha\neq 0,\:k$ entero positivo y consideremos el problema de calcular la integral

$y=\int e^{\alpha x}P(x)dx,$ donde

$P(x)=p_0+p_1x+\cdots+ p_kx^k$ . El método natural consistiría en aplicar el Método de Integración por partes de manera iterada (de hecho,

$k$ veces) pero mostraremos que usando la teoría de ecuaciones diferenciales puede obtenerse un método más directo. Aclaración : lo que a continuación se expone es tomado del libro Elementary Differential Equations de William F. Trench, disponible aquí . Primero observemos que al derivar a

$y$ se obtiene

$y'=e^{\alpha x}P(x)$ . Usando el método de Coeficientes Indeterminados escribimos

$y=e^{\alpha x}u$ ; de donde se obtiene

$(u'+\alpha u)e^{\alpha x}=e^{\alpha x}P(x)\Longleftrightarrow u'+\alpha u=P(x)$ Si

$u_p$ es una solución particular de la última ecuación entonces

$u_p$ se escribe como un polinomio

$A_0+A_1x+ \cdots+A_kx^k$ . Así, la ecuación anterior tiene la forma ...

El Problema de Nielsen (parte I)

De Miguel A. Maldonado - julio 03, 2015

Sea

$X$ espacio topológico y

$p\in X$ un punto distinguido. Definimos el grupo fundamental

$\pi_1(X,p)$ como el conjunto de clases de homotopía de lazos basados en

$p$ bajo la operación

$[\alpha]*[\beta]=[\alpha*\beta]$ , donde

$\alpha*\beta$ es la concatenación de lazos y con el elemento identidad dado por la clase del lazo constante. La asociación

$X\mapsto \pi_1(X,p)$ tiene un comportamiento funtorial : dado

$Y$ espacio topológico y una función continua

$f:X\to Y$ tal que

$f(p)=q$ existe un homomorfismo

$f_*:\pi_1(X,p)\to \pi_1(Y,q)$ , de donde se obtiene que para todo espacio

$Y$ homeomorfo a

$X$ se tiene

$\pi_1 (Y,q)\cong \pi_1(X,p)$ . En el siguiente texto analizaremos de qué manera el punto base en

$\pi_1(X,p)$ da origen a preguntas interesantes dentro de la teoría de grupos modulares ( mapping class groups ). Sean

$S_g$ la superficie orientable de género

$g$ ,

$Top\:(S_g)$ el grupo de homeomorfismos de

$S_g$ y

$\Gamma(S_g)=Top\:(S_g)/\simeq$ su grupo modular (extendido)...

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