Bestiario Topológico

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1 .- Sea

$X=[-1,1]\subset \mathbb{R}$ y consideremos la colección de subconjuntos de

$X$ dada por

$\tau=\{U\subset X\: |\: 0\notin U\;\; ó\;\; (-1,1)\subset U\}$ Pruebe que

$\tau$ es una topología para

$X$ y determine todos sus cerrados. Solución . Dado que

$0\notin \emptyset$ , se sigue que

$\emptyset \in \tau$ y como

$(-1,1)\subset X$ se tiene que

$X\in \tau$ . Consideremos ahora una colección

$\{U_i\}_{i\in I}$ de elementos de

$\tau$ . (i) Si

$0\notin U_i, \forall i$ , entonces

$0\notin \bigcup_{i\in I}U_i$ y la unión es elemento de

$\tau$ . (ii) Por otro lado, si existe

$j$ tal que

$(-1,1)\subset U_j$ , se tiene que

$(-1,1) \subset \bigcup_{i\in I}U_i$ y también la unión es elemento de

$\tau$ . Tomemos aho...