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Mostrando las entradas de julio, 2016

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Raíces de números complejos

De Carlos Ponce - julio 27, 2016

Consideremos

$z=a+ib$ un número complejo. El número

$z$ se puede escribir en su forma polar como

$z=r(\cos \theta +i \,\text{sen}\, \theta)$ donde

$r=\sqrt{a^2+b^2}$ y

$\theta$ es el ángulo, en radianes, determinado por el eje positivo

$x$ y el segmento que une al origen con el punto

$z$ . Ahora, la fórmula de Moivre establece que si

$z=r(\cos \theta +i\,\text{sen}\, \theta)$ y

$n$ es un número entero positivo, entonces

$z^n=r^n(\cos n\theta+i\,\text{sen}\, n\theta).$ Sea

$w$ un número complejo. Usando la fórmula de Moivre nos ayudará a resolver la ecuación

$z^n=w$ para

$z$ cuando

$w$ es un número complejo dado. Supongamos que

$w=r(\cos \theta +i\,\text{sen}\, \theta)$ y

$z=\rho (\cos \psi +i\,\text{sen}\, \psi)$ . Entonces por la fórmula de Moivre tenemos

$z^n=\rho^n(\cos n\psi+i\,\text{sen}\, n\psi)$ . De aquí se sigue que

$\rho^n=r=|w|$ , por la unicidad de la representación polar, y

$n\psi = \theta +k(2\pi)$ , donde

$k$ es un entero. De esta manera ...

Árbol de Pitágoras

De Carlos Ponce - julio 27, 2016

El árbol pitagórico es una especie de fractal plano construido a partir de un cuadrado, sobre el cual se construyen dos cuadrados, cada uno reducido por un factor lineal de

$\frac12\sqrt{2}$ de tal manera que las esquinas de los cuadrados coinciden dos a dos. Este mismo procedimiento se aplica de forma recursiva para los dos cuadrados más pequeñas, ad infinitum . GeoGebra Applet: https://ggbm.at/VU4SUVUp

¿Cómo obtener la fórmula cuadrática?

De Carlos Ponce - julio 25, 2016

En varios sitios de internet se puede encontrar la derivación de la fórmula

$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ para resolver la ecuación cuadrática

$ax^2+bx+c=0$ . Por ejemplo: Caso 1. Aquí Caso 2. Aquí Caso 3. Aquí El siguiente procedimiento me parece menos rebuscado: Sean

$a, b$ y

$c$ números reales con

$a\neq 0$ . Consideremos la ecuación

$ax^2+bx+c=0$ Entonces tenemos

$ax^2+bx=-c$ Multiplicamos por

$4a$ en ambos lados

$4a^2x^2+4abx=-4ac$ Ahora sumamos en ambos lados

$b^2$

$4a^2x^2+4abx+b^2=-4ac+b^2$ Lo anterior lo podemos escribir como $$(2ax+b)^2=b^2-4...

Campos vectoriales: Ejemplos

De Carlos Ponce - julio 24, 2016

Los campos vectoriales surgen naturalmente en el estudio de fuerzas físicas, en ingeniería y física, como la fuerza gravitacional, electrostática, centrifugal, etc. Por ejemplo, el campo vectorial definido por la función:

$\mathbf{F}(x,y,z)=-w_0\left(\frac{x}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^{3/2}},\frac{z}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^{3/2}},\frac{z}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^{3/2}}\right),$ donde

$w_0$ es un número real, está asociado con la atracción gravitacional y electrostática. El campo gravitacional alrededor de un planeta y el campo eléctrico alrededor de un punto son similares a este campo. El campo vectorial apunta en dirección al origen (cuando

$w_0>0$ ) y es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia al origen. Simulación Campo Gravitacional y Electrostático: Clic en la imagen (o enlace abajo) para acceder al applet. Enlace: Aquí Otro ejemplo importante es el campo de velocidad

$\mathbf{v}$ del flujo de un fluido en estado estacionario. El vector $\m...

Campos vectoriales

De Carlos Ponce - julio 24, 2016

¿Que es un campo vectorial? En general, un campo vectorial es una función que asigna vectores a puntos en el espacio. Un campo vectorial en el plano

$xy$ es una función vectorial de dos variables:

$\mathbf{F}(x,y)=\left(F_1(x,y),F_2(x,y)\right)=F_1(x,y)\mathbf{i}+F_2(x,y)\mathbf{j}$ La mejor manera de visualizar un campo vectorial es al dibujar una flecha representando al vector

$\mathbf{F}(x,y)$ , el cual comienza en el punto

$(x,y)$ . Por supuesto, es imposible hacer esto para todos los puntos

$(x,y)$ en el plano, pero podemos tener una idea razonable de

$\mathbf{F}$ al dibujar algunos puntos representativos en

$\mathbb R^2$ . De manera similar, un campo vectorial en tres dimensiones es una función vectorial de tres variables:

$\begin{eqnarray*} \mathbf{F}(x,y,z)&=&\left(F_1(x,y,z),F_2(x,y,z),F_3(x,y,z)\right)\\&=&F_1(x,y,z)\mathbf{i}+F_2(x,y,z)\mathbf{j}+F_3(x,y,z)\mathbf{k} \end{eqnarray*}$ ...