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Mostrando las entradas de julio, 2016

Raíces de números complejos

De Carlos Ponce - julio 27, 2016

Consideremos $z=a+ib$ un número complejo. El número $z$ se puede escribir en su forma polar como \[z=r(\cos \theta +i \,\text{sen}\, \theta)\] donde $r=\sqrt{a^2+b^2}$ y $\theta$ es el ángulo, en radianes, determinado por el eje positivo $x$ y el segmento que une al origen con el punto $z$. Ahora, la fórmula de Moivre establece que si $z=r(\cos \theta +i\,\text{sen}\, \theta)$ y $n$ es un número entero positivo, entonces \[z^n=r^n(\cos n\theta+i\,\text{sen}\, n\theta).\] Sea $w$ un número complejo. Usando la fórmula de Moivre nos ayudará a resolver la ecuación $z^n=w$ para $z$ cuando $w$ es un número complejo dado. Supongamos que $w=r(\cos \theta +i\,\text{sen}\, \theta)$ y $z=\rho (\cos \psi +i\,\text{sen}\, \psi)$. Entonces por la fórmula de Moivre tenemos $z^n=\rho^n(\cos n\psi+i\,\text{sen}\, n\psi)$. De aquí se sigue que $\rho^n=r=|w|$, por la unicidad de la representación polar, y $n\psi = \theta +k(2\pi)$, donde $k$ es un entero. De esta manera ...

Árbol de Pitágoras

De Carlos Ponce - julio 27, 2016

El árbol pitagórico es una especie de fractal plano construido a partir de un cuadrado, sobre el cual se construyen dos cuadrados, cada uno reducido por un factor lineal de $\frac12\sqrt{2}$ de tal manera que las esquinas de los cuadrados coinciden dos a dos. Este mismo procedimiento se aplica de forma recursiva para los dos cuadrados más pequeñas, ad infinitum . GeoGebra Applet: https://ggbm.at/VU4SUVUp

¿Cómo obtener la fórmula cuadrática?

De Carlos Ponce - julio 25, 2016

En varios sitios de internet se puede encontrar la derivación de la fórmula \[x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\] para resolver la ecuación cuadrática $ax^2+bx+c=0$. Por ejemplo: Caso 1. Aquí Caso 2. Aquí Caso 3. Aquí El siguiente procedimiento me parece menos rebuscado: Sean $a, b$ y $c$ números reales con $a\neq 0$. Consideremos la ecuación $$ax^2+bx+c=0$$ Entonces tenemos $$ax^2+bx=-c$$ Multiplicamos por $4a$ en ambos lados $$4a^2x^2+4abx=-4ac$$ Ahora sumamos en ambos lados $b^2$ $$4a^2x^2+4abx+b^2=-4ac+b^2$$ Lo anterior lo podemos escribir como $$(2ax+b)^2=b^2-4...

Campos vectoriales: Ejemplos

De Carlos Ponce - julio 24, 2016

Los campos vectoriales surgen naturalmente en el estudio de fuerzas físicas, en ingeniería y física, como la fuerza gravitacional, electrostática, centrifugal, etc. Por ejemplo, el campo vectorial definido por la función: \[ \mathbf{F}(x,y,z)=-w_0\left(\frac{x}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^{3/2}},\frac{z}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^{3/2}},\frac{z}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^{3/2}}\right), \] donde $w_0$ es un número real, está asociado con la atracción gravitacional y electrostática. El campo gravitacional alrededor de un planeta y el campo eléctrico alrededor de un punto son similares a este campo. El campo vectorial apunta en dirección al origen (cuando $w_0>0$) y es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia al origen. Simulación Campo Gravitacional y Electrostático: Clic en la imagen (o enlace abajo) para acceder al applet. Enlace: Aquí Otro ejemplo importante es el campo de velocidad $\mathbf{v}$ del flujo de un fluido en estado estacionario. El vector $\m...

Campos vectoriales

De Carlos Ponce - julio 24, 2016

¿Que es un campo vectorial? En general, un campo vectorial es una función que asigna vectores a puntos en el espacio. Un campo vectorial en el plano $xy$ es una función vectorial de dos variables: \[ \mathbf{F}(x,y)=\left(F_1(x,y),F_2(x,y)\right)=F_1(x,y)\mathbf{i}+F_2(x,y)\mathbf{j} \] La mejor manera de visualizar un campo vectorial es al dibujar una flecha representando al vector $\mathbf{F}(x,y)$, el cual comienza en el punto $(x,y)$. Por supuesto, es imposible hacer esto para todos los puntos $(x,y)$ en el plano, pero podemos tener una idea razonable de $\mathbf{F}$ al dibujar algunos puntos representativos en $\mathbb R^2$. De manera similar, un campo vectorial en tres dimensiones es una función vectorial de tres variables: \begin{eqnarray*} \mathbf{F}(x,y,z)&=&\left(F_1(x,y,z),F_2(x,y,z),F_3(x,y,z)\right)\\&=&F_1(x,y,z)\mathbf{i}+F_2(x,y,z)\mathbf{j}+F_3(x,y,z)\mathbf{k} \end{eqnarray*} ...