Bestiario Topológico

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Mostrando las entradas de junio, 2016

Sea

$R$ anillo conmutativo en el que

$a^2=0$ solo cuando

$a=0$ . Muestre que si el polinomio

$q(X)=a_0X^n+a_1X^{n-1}+\cdots +a_n\in R[X]$ es un divisor de cero, entonces existe un elemento

$b\neq 0\in R$ tal que

$ba_0=ba_1=\cdots=ba_n=0$ . Solucion : La hipotesis sobre el cuadrado de

$a$ permite asegurar que todas las potencias de

$a$ solo se anulan cuando

$a=0$ : supongamos que

$a^t=0$ y notemos que

$(a^{t-1})^2=a^{t-1}a^{t-1}=a^ta^ta^{-2}=0$ Asi, por hipotesis tenemos

$a^{t-1}=0$ . Aplicando un argumento de induccion vemos que

$a^t=0$ solo cuando

$a=0$ . Sea

$p(X)=b_0X^m+b_1X^{m-1}+\cdots +b_m$ polinomio no cero, con

$b_0\neq 0$ , tal que

$q(X)p(X)=0$ . Al realizar el producto obtenemos que ...