Ejercicio de Algebra: sobre divisores de cero en $R[X]$
Sea $R$ anillo conmutativo en el que $a^2=0$ solo cuando $a=0$. Muestre que si el polinomio $q(X)=a_0X^n+a_1X^{n-1}+\cdots +a_n\in R[X]$ es un divisor de cero, entonces existe un elemento $b\neq 0\in R$ tal que $ba_0=ba_1=\cdots=ba_n=0$. Solucion : La hipotesis sobre el cuadrado de $a$ permite asegurar que todas las potencias de $a$ solo se anulan cuando $a=0$: supongamos que $a^t=0$ y notemos que $(a^{t-1})^2=a^{t-1}a^{t-1}=a^ta^ta^{-2}=0$ Asi, por hipotesis tenemos $a^{t-1}=0$. Aplicando un argumento de induccion vemos que $a^t=0$ solo cuando $a=0$. Sea $p(X)=b_0X^m+b_1X^{m-1}+\cdots +b_m$ polinomio no cero, con $b_0\neq 0$, tal que $q(X)p(X)=0$. Al realizar el producto obtenemos que ...
