Una historia de la Topología


Las ideas topológicas están presentes en casi todas las áreas de las matemáticas actuales. El tema de la topología en sí consta de varias ramas diferentes, tales como la topología general, la topología algebraica y topología diferencial, las cuales tienen relativamente poco en común. En el presente artículo hablamos del origen de los conceptos topológicos en una serie de situaciones diferentes.

Tal vez la primera obra que merece ser considerada como el inicio de la topología se debe a Euler. En 1736 Euler publicó un documento sobre la solución del problema de los puentes de Königsberg titulado Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis que se traduce en Español como La solución de un problema relacionado con la geometría de posición. El propio título indica que Euler era consciente de que estaba tratando con un tipo diferente de geometría donde la distancia no era relevante.

Aquí está un diagrama de los puentes de Königsberg



En dicho artículo Euler demostró que no es posible el problema del cruce de los siete puentes en un solo viaje y, además, generalizó el problema al demostrar que, en lenguaje actual:

Un grafo tiene un camino que atraviesa cada arista exactamente una vez si exactamente dos vértices tienen grado impar.

El siguiente paso en la liberación de las matemáticas de ser un tema sobre la medición también se debió a Euler. En 1750 escribió una carta a Christian Goldbach la cual, además de comentar sobre una disputa que Goldbach estaba teniendo con un vendedor de libros, da la famosa fórmula para un poliedro
$$v - e + f = 2$$
donde $v$ es el número de vértices del poliedro, $e$ es el número de aristas y $f$ es el número de caras. Actualmente, a esta fórmula se le conoce como característica de Euler. Es interesante darse cuenta de que esta simple fórmula parece haber pasado desapercibida por Arquímedes y Descartes aunque ambos escribieron extensamente sobre poliedros. Una vez más la razón debe ser que para todos los matemáticos antes de Euler, había sido imposible pensar en propiedades geométricas sin que la idea de medir estuviera involucrada.

Euler publicó detalles de su fórmula en 1752 en dos artículos, el primero admite que Euler no puede probar el resultado, pero el segundo da una prueba basada en la disección de los sólidos en rodajas tetraédricos. Euler pasa por alto algunos problemas con su prueba extraordinariamente inteligente. En particular, se supone que los sólidos son convexos, lo cual significa que una línea recta que une dos puntos siempre se encuentra totalmente dentro del sólido.

El camino que comenzó Euler con su fórmula poliédrica fue seguido por un matemático poco conocido Antoine-Jean Lhuilier (1750 -1840) quien trabajó la mayor parte de su vida en los problemas relacionados con la fórmula de Euler. En 1813 Lhuilier publicó un trabajo de suma importancia. Se dio cuenta de que la fórmula de Euler no era correcta para sólidos con agujeros. Si un sólido tiene g agujeros, Lhuilier demostró que
$$v - e + f = 2 - 2 g.$$
Este fue el primer resultado conocido como un invariante topológico.

Möbius publicó una descripción de una superficie con una sola cara y un solo borde en 1865, la cual es conocida actualmente como banda de Möbius. Möbius trató de describir la propiedad de 'unilateral' de dicha superficie en términos de su no orientabilidad. Consideró que la superficie se podía cubrir con triángulos orientados, pero se encontró con que la banda de Möbius no podía ser totalmente cubierta con triángulos orientados.

Johann Benedict Listing (1802-1882) fue el primero en usar la palabra topología. Las ideas topológicas de Listing se debieron principalmente a Gauss, aunque el propio Gauss eligió no publicar ningún trabajo en topología. Listing escribió un artículo en 1847 titulado Vorstudien zur Topologie aunque ya había utilizado la palabra durante diez años en su correspondencia con otros matemáticos. El artículo de 1847 no es muy importante, aunque también introduce la idea de un complejo, ya que es extremadamente elemental. En 1861 Listing publicó un documento mucho más importante en el cual describe la banda de Möbius (4 años antes de Möbius) y estudió los componentes de las superficies y la conectividad.

Listing no fue el primero en examinar la conectividad de superficies. Riemann había estudiado el concepto en 1851 y nuevamente en 1857 cuando introdujo las superficies de Riemann. El problema surgió del estudio de una ecuación polinómica $f (w, z) = 0$ al considerar la variación de las raíces cuando las variables complejas $w$ y $z$ varían. Riemann introdujo superficies de Riemann, determinadas por la función $f (w, z),$ de tal modo que la función $w(z)$ definida por la ecuación $f (w, z) = 0$ es evaluada en un solo punto perteneciente a las superficies.

Jordan introdujo otro método para examinar la conectividad de una superficie. Definió una curva cerrada simple en una superficie que no se cruzan en sí un circuito irreducible si no puede ser transformada continuamente en un punto. Si un circuito $c$ general puede ser transformado en un sistema de circuitos irreducibles $a_1, a_2, \ldots, a_n$ de tal manera que $c$ describe $a_i m_i$ veces, entonces Jordan escribió
$$c = m_1a_1 + m_2a_2 + \ldots + m_na_n.$$
El circuito $c$ es reducible si
$$m_1a_1 + m_2a_2 + \ldots+ m_na_n = 0. \;\;(*)$$

Un sistema de circuitos irreducibles $a_1, a_2, \ldots,a_n$ se llama independiente si no cumple la relación de la forma $(*)$ y completa si cualquier circuito puede ser expresado en términos de ellos. Jordan demostró que el número de circuitos en un conjunto completo e independiente es un invariante topológico de la superficie.

Listing había examinado la conectividad en el espacio Euclidiano tridimensional pero Betti extendió sus ideas para n dimensiones. Esto no es tan sencillo como podría parecer, ya que incluso en tres dimensiones es posible tener una superficie que no se puede reducir a un punto, aunque curvas cerradas en la superficie pueden reducirse a un punto. La definición de Betti de conectividad no fue del todo completa y las críticas fueron hechas por Heegaard.

La idea de la conectividad fue finalmente establecida con una base completamente rigurosa por Poincaré en una serie de artículos de 1895: Analysis situs. Poincaré introdujo el concepto de homología y dio una definición más precisa de los números de Betti asociados a un espacio. La fórmula de poliedros convexos de Euler se había generalizado a poliedros no necesariamente convexos por Jonquières en el año 1890, y Poincaré la estableció en un contexto completamente general de una variedad V $p$-dimensional.

También Poincaré introdujo el grupo fundamental de una variedad y el concepto de homotopía en 1895, mientras estudiaba el tema de conectividad. 

Una segunda forma en que se desarrolló la topología fue a través de la generalización de las ideas de la convergencia. Este proceso se inició realmente en 1817 cuando Bolzano removió la asociación de convergencia con una secuencia de números y la asoció la convergencia con cualquier subconjunto infinito acotado de los números reales.

Cantor en 1872 introdujo el concepto de primer conjunto derivado, o conjunto de puntos límite, de un conjunto. También definió subconjuntos cerrados de la recta real como subconjuntos que contienen su primer conjunto derivado. Asimismo Cantor introdujo la idea de un conjunto abierto, otro concepto fundamental para la topología general.

Weierstrass en 1877 en un curso de lecciones no publicadas dio una prueba rigurosa del teorema de Bolzano-Weierstrass que establece:

Un subconjunto infinito y acotado S de los números reales posee al menos un punto de acumulación de p, es decir, p satisface la propiedad de que dado cualquier $\epsilon> 0$ existe una sucesión infinita $(p_n)$ de puntos de $S$ tales que $| p - p_n | <\epsilon$.

De aquí que se introdujo el concepto de entorno de un punto.

Hilbert utilizó el concepto de entorno en 1902 cuando respondió de manera afirmativa a una de sus propias preguntas, a saber:

¿Es diferenciable un grupo de transformación continua?

En 1906 Fréchet definió un espacio compacto si cualquier subconjunto acotado infinito contiene un punto de acumulación. Sin embargo, Fréchet fue capaz de extender el concepto de convergencia del espacio Euclidiano mediante la definición de los espacios métricos. También demostró que las ideas de Cantor de subconjuntos abiertos y cerrados se extendían de manera natural a espacios métricos.

Riesz, en un artículo para el Congreso Internacional de Matemáticas en Roma (1909), eliminó el uso de métrica por completo y propuso un nuevo enfoque axiomático para la topología. La definición se basa en una definición de conjunto de puntos límite, sin concepto de distancia. Unos años más tarde, en 1914 Hausdorff definió entornos por medio de cuatro axiomas así que de nuevo no hubo consideraciones métricas. Esta obra de Riesz y Hausdorff realmente permitió la definición de los espacios topológicos abstractos.

Hay una tercera vía en la que los conceptos topológicos entraron en matemáticas, es decir, a través de análisis funcional. Este fue un tema que surgió de la física matemática y la astronomía, debido a que los métodos de análisis clásico eran inadecuados para resolver cierto tipo de problemas. Jacob Bernoulli y Johann Bernoulli inventaron el cálculo de variaciones en el valor de una integral se considera como una función de las funciones que se integran.

Hadamard introdujo la palabra "funcional" en 1903 cuando estudiaba funcionales lineales $F$ de la forma
$$F (f) = \lim \int f (x) g_n (x) dx$$
donde el límite se toma cuando $n\rightarrow \infty$ y la integral es de $a$ a $b$. Fréchet continuó el desarrollo del funcional mediante la definición de la derivada de un funcional en 1904.

Schmidt en 1907 estudió la noción de convergencia en espacios de sucesiones, extendiendo métodos que Hilbert había utilizado en su trabajo sobre ecuaciones integrales para generalizar la idea de una serie de Fourier. La distancia se definió entonces a través de un producto interno. El trabajo de Schmidt en espacios de sucesiones tiene analogías en la teoría de funciones de cuadrados sumables, este trabajo que se realizó también en 1907 por el propio Schmidt e independientemente por Fréchet.

Un paso más en la abstracción fue tomado por Banach en 1932 cuando se consideró no solo espacios de producto interior sino que introdujo la idea de espacios normados. Banach utilizó las funcionales lineales de Fréchet y demostró que tenían un contexto natural en espacios normados.

Poincaré desarrolló muchos de sus métodos topológicos mientras estudiaba ecuaciones diferenciales ordinarias, las cuales surgieron de un estudio de ciertos problemas de astronomía. Su estudio de sistemas autónomos
$$\frac{dx}{dt} = f (x, y),\; \frac{dy}{dt} = g (x, y)$$
involucra observar la totalidad de todas las soluciones en lugar de las trayectorias particulares como se hacía anteriormente. La colección de métodos desarrollados por Poincaré fue desarrollada dentro de una teoría topológica completa por Brouwer en 1912.


Artículo original en inglés: A history of Topology por J. J. O'Connor & E. F. Robertson.

Traducido del sitio: The MacTutor History of Mathematics por Juan Carlos Ponce Campuzano.


Referencias

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