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Una divertida aplicación de la Transformada Discreta de Fourier: Toda la información se encuentra en las siguientes entradas: Dibujando curvas cerradas con epiciclos Interpolación trigonométrica usando la Transformada Discreta de Fourier La órbita de Homero Simpson: Una divertida aplicación de la Transformada Discreta de Fourier Si te gusta mi trabajo, puedes apoyarme en Patreon usando el siguiente enlace: Become a Patron! Con tu apoyo podré seguir escribiendo y compartiendo artículos, applets y videos de matemáticas.

Introducción En 2008 Santiago Ginnobili y Christián C. Carman publicaron un ejemplo de un sistema de epiciclos trazando una órbita formando la figura del famoso personaje de caricaturas, Homero Simpson. En ese mismo año Santiago Ginnobili publicó en su canal de YouTube la animación de dicha órbita: Desde entonces, esta animación ha causado admiración y revuelo en las redes sociales, en particular en las comunidades interesadas en las matemáticas, e incluso muchas personas han realizados sus propias versiones. Aquí surgen varias preguntas. ¿Cómo se calculan los radios de cada uno de los círculos? ¿Cómo se calculan las velocidades de rotación de cada epiciclo? En general, ¿cómo Santiago Ginnobili y Christián C. Carman lograron hacer esta animación? En realidad detrás de esta construcción se encuentra escondida la Transformada Discreta de Fourier (TDF), lo cual he mencionado en una entrada anterior ( Dibujando curvas cerradas con epiciclos ) pero no...

Introducción La Transformada Discreta de Fourier (TDF) transforma una sucesión de $n$ números complejos  $$\{x_0, x_1, \ldots, x_{N-1}\}$$ en otra sucesión de números complejos $$\{X_0, X_1, \ldots, X_{N-1}\}$$ por medio de la fórmula \begin{eqnarray} X_k &=&\; \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} x_n \cdot e^{- i \, k \frac{2 \pi}{N}\, n}\qquad(k = 0, 1,\ldots, N-1)\nonumber\\ &=& \; \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} x_j \left[ \cos \left( k \, \frac{2\pi}{N} \, n \right) - i\, \sin \left(k\, \frac{2\pi}{N}\,n\right) \right]\label{four} \end{eqnarray} La segunda expresión se obtuve usando la fórmula de Euler $e^{it} = \cos t + i \text{sin}\, t$. Veamos un ejemplo sencillo. Consideremos la siguiente sucesión de números complejos: $$\mathbf x = \left\{ 1, 2-i, -i, -1+2i \right\}$$ Al aplicar la TDF (\ref{four}) tenemos: \begin{equation} \begin{aligned} X_{0}= {} &\frac{1}{4} \big[ 1\cdot e^{-...

Una introducción al concepto de epiciclos Considera un punto que se mueve sobre la circunferencia de un círculo. Si deseas expresar el movimiento de este punto en términos matemáticos, podemos decir que las coordenadas $x$ e $y$ del punto se pueden definir como:  \[ \begin{aligned} x(t) & = R\cos(\omega t)\\ y(t) & = R\mbox{ sen}(\omega t).\\ \end{aligned} \] Donde $R$ es el radio del disco y $\omega$ es la velocidad con la cual el punto está rotando. Este tipo de fórmula se denomina como ecuación paramétrica , si esta ecuación no te es familiar, valdrá la pena leer un como acerca de este tema antes de proseguir. Ahora veamos algo un poco más complejo: agreguemos un segundo círculo con su propio punto rotando en su circunferencia. Si trazamos el lugar geométrico de este segundo punto, podemos observar una especie de flor: No es difícil describir matemáticamente este trazo, o curva, un poco más complejo: la posición de este punto es solamente la sum...

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