Entradas

Atractores extraños

Imagen
En 1963, Edward Lorenz desarrolló un modelo matemático simplificado para la convección atmosférica [1]. El modelo es un sistema de tres ecuaciones diferenciales ordinarias ahora conocido como el sistema de Lorenz (o ecuaciones de Lorenz): \begin{eqnarray*}
\frac{dx}{dt} &= a (x- y) \\
\frac{dy}{dt} &= x(b-z)-y \\
\frac{dz}{dt} &= xy-cz
\end{eqnarray*}
El sistema Lorenz es notable por tener soluciones caóticas para ciertos valores de parámetros y condiciones iniciales. En particular, el atractor de Lorenz (atractor extraño) es un conjunto de soluciones caóticas del sistema Lorenz que, cuando se trazan, se asemejan a una mariposa o un ocho [2]. Las siguientes figuras muestran dos trayectorias diferentes para valores particulares de los parámetros en el sistema:


En la simulación a continuación, puedes observar el movimiento de partículas descrito por el sistema de Lorenz.

Lorenz attractor: Simulación
Ecuaciones: \begin{eqnarray*}
\frac{dx}{dt}&=&a(y-x)\\
\frac{dy}{dt}&…

Campo vectorial dependiente del tiempo

Imagen
Un campo vectorial dependiente del tiempo
$$\mathbf v(x(t),y(t),t)=u(x(t),y(t),t)\,\mathbf i+v(x(t),y(t),t)\,\mathbf j,$$
es una construcción en cálculo vectorial que generaliza el concepto de campos vectoriales.
También se puede escribir de forma breve como
$$\mathbf  v(\mathbf x, t)=\mathbf  v(\mathbf x(t), t).$$
Esencialmente, un campo vectorial dependiente del tiempo cambia de deposición a medida que pasa el tiempo. Para cada instante del tiempo, se asocia un vector a cada punto en un espacio euclidiano o en una variedad.
Un campo vectorial (o campo de velocidad) dependiente del tiempo puede representar la velocidad de flujo de un fluido ideal o sin viscosidad.

Trayectorias y líneas de corriente
Supongamos que nuestro fluido está contenido en una región $D\subset \mathbb R^2$ y $\mathbf x= (x,y)$ es una posición en $D$. El movimiento de cada partícula en el fluido está descrito por el campo de velocidad  $\mathbf v(\mathbf x(t), t)$. Supongamos que la posición de la partícula en e…

Flujo uniforme con circulación

La siguiente función de flujo:
$$\psi=Uy\Big(1-\frac{a^2}{x^2+y^2}\Big)-\frac{\Gamma}{4\pi}\log(x^2+y^2)$$
representa el flujo uniforme de un fluido que pasa alrededor de un cilindro de radio $a$, con circulación $\Gamma$ y velocidad $U$.

Podemos ilustrar el flujo de partículas que se mueven con respecto a esta función de flujo. Para lograr esto, necesitamos las componentes del campo de velocidad $(u,v)$, el cual está determinado por el sistema de ecuaciones:
$$u=\frac{\partial \psi}{\partial y}\quad\text{y}\quad v=-\frac{\partial\psi}{\partial x}$$
En el interactivo de abajo, se utiliza el método Runge-Kutta de cuarto grado para resolver numéricamente dicho sistema. También se puede apreciar el comportamiento de las partículas para los siguientes valores $a=80$, $U=10$ ó $-10$ y $0<\Gamma<18000$.

Considera la constante
$$\textbf{g}=\frac{\Gamma}{4\pi a U}.$$
Observa en el interactivo qué sucede cuando la constante g varía.

Instrucciones:
Solo mueve el cursor de izquierda a derec…

Mariposa

La siguiente animación muestra la curva conocida como la Mariposa y es generada por la ecuación polar: $$r=e^{\sin \theta}-2\cos(4\theta) +\sin^5\left(\frac{2\theta-\pi}{24}\right).$$
La animación está hecha con el lenguaje de programación p5.js

Otras palabras sobre espacios compactos

Recordemos que previamente mencionamos las siguientes propiedades de conjuntos finitos:
- En todo conjunto finito siempre existe un elemento mínimo y un máximo.
- Toda función continua definida en un conjunto finito alcanza un máximo y un mínimo.
- La unión de una cantidad finita de conjuntos finitos es un conjunto finito
- La intersección de una cantidad arbitraria de conjuntos finitos es un conjunto finito

En esta entrada mostraremos que los espacios compactos también tienen dichas propiedades.


Introducción

El concepto de espacio compacto busca, de cierta manera, generalizar los fenómenos mencionados arriba para conjuntos que no necesariamente son finitos. Esta es una de las motivaciones que dieron origen a la definición de espacio compacto como la daremos más adelante; otras incluyen el estudio de las propiedades de intervalos cerrados y acotados así como el estudio de espacios de funciones continuas; véase [3] para un recuento de la historia de compacidad.


Resultados relevantes
1.- La co…

Toro de Clifford

Imagen
Enlace: Clifford torus

Matemáticas dinámicas, enciclopedias y recursos didácticos

Imagen
La siguiente lista está compuesta de sitios web muy interesantes de diferentes temas de matemáticas y física. Algunos de ellos contienen también simulaciones e interactivos.
- Earth: https://earth.nullschool.net/



- Encyclopedia of mathematics: https://www.encyclopediaofmath.org/



- Encyclopedia of of integer sequences: http://oeis.org/



- Visual Polyhedra: http://dmccooey.com/polyhedra/index.html



- Wallpaper Symmetry: http://math.hws.edu/eck/jsdemo/wallpaper.html



- Digital mathematics: http://www.malinc.se/



- Matemáticas visuales: http://www.matematicasvisuales.com/index.html



- Math curve: http://www.mathcurve.com/



- Euclid's Elements: http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/elements.html



- Map projections: https://www.jasondavies.com/maps/transition/



- Fractal geometry: http://users.math.yale.edu/public_html/People/frame/Fractals/



- MIT mathlets: http://mathlets.org/



- SciMS: https://teaching.smp.uq.edu.au/scims/



- Wolfram MathWorld: http://mathworld.wolfram.com/



- Probabil…

Unas palabras sobre espacios compactos

En una entrada previa mencionamos brevemente la definición de espacio compacto. En los párrafos de abajo ahondaremos en dicha definición, dando algunos ejemplos y contra ejemplos de espacios compactos.


Introducción
Algunos resultados de naturaleza aritmética o relativos a la Teoría de conjuntos son claramente válidos para conjuntos finitos pero no lo son para conjuntos infinitos; por citar algunos:

- En todo conjunto finito siempre existe un elemento mínimo y un máximo.
- Toda función continua definida en un conjunto finito alcanza un máximo y un mínimo.
- La unión de una cantidad finita de conjuntos finitos es un conjunto finito
- La intersección de una cantidad arbitraria de conjuntos finitos es un conjunto finito


El concepto de espacio compacto busca, de cierta manera, generalizar los fenómenos mencionados arriba para conjuntos que no necesariamente son finitos. Esta es una de las motivaciones que dieron origen a la definición de espacio compacto como la daremos más adelante; otras …

Dibujando grafos

Imagen
Con la siguiente aplicación (html5, javascript):

http://g.ivank.net/
puedes diseñar tus propios grafos, como el que se muestra abajo, definido como
$$6:1-4,1-5,1-6,2-4,2-5,2-6,3-4,3-5,3-6$$

El interior del toro

Seguramente has visto un toro (una dona) desde el exterior. Pero ¿alguna vez te has preguntado cómo se ve el toro por dentro? Con el siguiente applet puedes explorar el interior del toro.

Instrucciones:

1. Usa el ratón para girar en el interior o para salir del toro (click sin soltar botón hacia izquierda y derecha, o arriba y abajo).
2. Mueve los deslizadores para cambiar los parámetros que definen a este toro en particular.


Enlace: Inside the torus

Espacio separable

Decimos que un subespacio $A\subset X$ es denso en $X$ si $\overline{A}=X$. Observemos que, utilizando la caracterización de la cerradura en términos de abiertos, se tiene que $A$ es denso si, y sólo si, todo abierto no vacío de $X$ intersecta a $A$.

Ejemplo 1. Observemos que en cualquier espacio dotado de la topología trivial, cualquier subconjunto no vacío es denso. Por el contrario, en cualquier espacio dotado de la topología discreta ningún subconjunto propio es denso.$\blacktriangleleft$
Ejemplo 2. Sea $X$ con la topología del complemento finito y $W\subset X$ infinito. Recordemos que $U\subset X$ es cerrado si y solo si $C=X$ ó $C$ es finito. Así, cualquier cerrado que contenga a $W$ debe ser todo $X$ y por lo tanto es denso.$\blacktriangleleft$

Un espacio topológico es llamado separable (ó de Fréchet) si contiene un subconjunto denso  y numerable. 
Ejemplo 3. La recta real $\mathbb{R}$ con la topología usual es separable pues el conjunto de los racionales $\mathbb{Q}$ es denso y …