Entradas

Un nudo adentro de un toro

Seguramente conoces lo que es un toro:


Y también seguramente conoces lo que es un nudo trébol:


Pero, ¿alguna vez has visto la combinación de ambos? Las siguientes imágenes muestran un nudo trébol en el interior de un toro.
En la Figura 1, podemos apreciar en el interior el nudo trébol.
Figura 1.
En la Figura 2 podemos observar una animación de la superficie del toro con el nudo en su interior.
Figura 2.
En la Figura 3 podemos observar con más detalle en el interior del toro el nudo trébol y en la Figura 4 la animación de la misma.
Figura 3.

Figura 4.

Premio Abel 2018 (y un ejemplo de representación de grupo)

Imagen

Joukowsky Airfoil (Alerón)

Imagen
En matemáticas aplicadas, la transformación de Joukowsky, llamada así por Nikolai Zhukovsky (quien la publicó en 1910), es un mapeo conforme utilizado históricamente para entender algunos principios del diseño aerodinámico.
La transformación es $$ f(z) = z + \frac {1} {z},$$ donde $ z = x + iy$. Esta transformación también se llama mapeo de Joukowsky,transformada de Joukowski y otras variaciones.
En aerodinámica, esta transformación se utiliza para resolver el flujo de potencial bidimensional en torno a una clase de superficies aerodinámicas conocidas como alerones de Joukowsky (Joukowsky Airfoil). Un alerón de Joukowsky se genera en el plano complejo $w$ aplicando la transformación Joukowsky a un círculo en el plano $z$. Las coordenadas del centro del círculo son variables, y al modificarlas se modifica la forma del perfil aerodinámico resultante. El círculo encierra el punto $z = -1$ (donde la derivada es cero) e interseca el punto $z=1$. Esto se puede lograr para cualquier posició…

Gráficas y su grupo fundamental

Imagen

Representación dinámica de transformaciones complejas

Imagen
Una función compleja $f(z)$ se puede considerar como un mapeo o transformación de los puntos en el plano $z$ (con $z=x+iy$) a los puntos en el plano $w$ (donde $u+iv$).



Los siguientes interactivos muestran algunas transformaciones básicas de regiones simples (cuadrados). Mueve el deslizador abajo de cada interactivo para aplicar la transformación.

$f(z)=1/z$ with  $-2\leq \text{Re}(z)\leq2,$ $-2\leq \text{Im}(z)\leq2$ y $z\neq 0$.


$f(z)=e^z$ with  $-\frac{\pi}{2}\leq \text{Re}(z)\leq\frac{\pi}{2},$ $-\frac{\pi}{2}\leq \text{Im}(z)\leq\frac{\pi}{2}$.

$f(z)=\log(z)$ with  $-\frac{\pi}{2}\leq \text{Re}(z)\leq\frac{\pi}{2},$ $-\frac{\pi}{2}\leq \text{Im}(z)\leq\frac{\pi}{2}$ y $z\neq 0$.

$f(z)=\text{sen}(z)$ with  $-\frac{\pi}{2}\leq \text{Re}(z)\leq\frac{\pi}{2},$ $-\frac{\pi}{2}\leq \text{Im}(z)\leq\frac{\pi}{2}$.

Enlace: https://www.openprocessing.org/sketch/511649


$f(z)=z+\frac1z$ with  $-0.6\leq \text{Re}(z)\leq0.6,$ $-0.6\leq \text{Im}(z)\leq0.6$ y $z\neq 0$.

Enlace: https://www.ope…

Un criterio de conexidad

Imagen

Homotopía (parte II)

Imagen
En esta entrada continuaremos con lo expuesto antes sobre homotopía y definiremos un objeto de gran importancia dentro de la Topología Algebraica: el grupo fundamental de un espacio.

El grupo fundamental
Sean $X$ espacio topológico y $x_0,x_1\in X$. Un camino $\alpha$ de $x_0$ a $x_1$ es una función continua $\alpha:[0,1]\to X$ tal que $\alpha(0)=x_0, \alpha(1)=x_1$. El camino constante en $x\in X$ se define como $c_x(t)=x$ para todo $t\in [0,1]$. Dado un camino $\alpha$ se define su camino inverso $\overline{\alpha}$ como el camino de $x_1$ a $x_0$ dado por $\overline{\alpha}(t)=\alpha(1-t)$. Si $\beta$ es camino tal que $\alpha(1)=\beta(0)$ definimos el camino producto $\alpha*\beta$ como el camino dado por concatenación.
Usando que homotopía es una relación de equivalencia la multiplicación de caminos tiene la siguiente propiedades: Si $\alpha_1\simeq \alpha_2$ entonces $\overline{\alpha}_1\simeq \overline{\alpha}_2$.Si $\alpha_1\simeq \alpha_2,\;\beta_1\simeq \beta_2$, entonces $\a…

Breve historia de la derivada

Imagen
En el siguiente enlace podrás descargar Una breve historia del concepto de derivada para iPad y iPhone.

iTunes: Una breve historia del concepto de derivada


Números perfectos

Imagen

Presentación de grupo

Imagen

El Teorema de Cantor-Schröder-Bernstein en topología

Atractores extraños

Imagen
En 1963, Edward Lorenz desarrolló un modelo matemático simplificado para la convección atmosférica [1]. El modelo es un sistema de tres ecuaciones diferenciales ordinarias ahora conocido como el sistema de Lorenz (o ecuaciones de Lorenz): \begin{eqnarray*}
\frac{dx}{dt} &= a (x- y) \\
\frac{dy}{dt} &= x(b-z)-y \\
\frac{dz}{dt} &= xy-cz
\end{eqnarray*}
El sistema Lorenz es notable por tener soluciones caóticas para ciertos valores de parámetros y condiciones iniciales. En particular, el atractor de Lorenz (atractor extraño) es un conjunto de soluciones caóticas del sistema Lorenz que, cuando se trazan, se asemejan a una mariposa o un ocho [2]. Las siguientes figuras muestran dos trayectorias diferentes para valores particulares de los parámetros en el sistema:


En la simulación a continuación, puedes observar el movimiento de partículas descrito por el sistema de Lorenz.

Lorenz attractor: Simulación
Ecuaciones: \begin{eqnarray*}
\frac{dx}{dt}&=&a(y-x)\\
\frac{dy}{dt}&…