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Representación dinámica de transformaciones complejas

Una función compleja $f(z)$ se puede considerar como un mapeo o transformación de los puntos en el plano $z$ (con $z=x+iy$) a los puntos en el plano $w$ (donde $u+iv$).



Los siguientes interactivos muestran algunas transformaciones básicas de regiones simples (cuadrados). Mueve el deslizador abajo de cada interactivo para aplicar la transformación.

$f(z)=z^2$ with $-1\leq \text{Re}(z)\leq1,$ $-1\leq \text{Im}(z)\leq1$.

$f(z)=z^{1/2}$ with $-1\leq \text{Re}(z)\leq1,$ $-1\leq \text{Im}(z)\leq1$.

$f(z)=1/z$ with  $-2\leq \text{Re}(z)\leq2,$ $-2\leq \text{Im}(z)\leq2$.

$f(z)=z+\frac1z$ with  $-0.6\leq \text{Re}(z)\leq0.6,$ $-0.6\leq \text{Im}(z)\leq0.6$.

$f(z)=e^z$ with  $-\frac{\pi}{2}\leq \text{Re}(z)\leq\frac{\pi}{2},$ $-\frac{\pi}{2}\leq \text{Im}(z)\leq\frac{\pi}{2}$.

$f(z)=\log(z)$ with  $-\frac{\pi}{2}\leq \text{Re}(z)\leq\frac{\pi}{2},$ $-\frac{\pi}{2}\leq \text{Im}(z)\leq\frac{\pi}{2}$.

$f(z)=\text{sen}(z)$ with  $-\frac{\pi}{2}\leq \text{Re}(z)\leq\frac{\pi}{2},$ $-\frac{\pi}{2}\…

Un criterio de conexidad

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Homotopía (parte II)

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En esta entrada continuaremos con lo expuesto antes sobre homotopía y definiremos un objeto de gran importancia dentro de la Topología Algebraica: el grupo fundamental de un espacio.

El grupo fundamental
Sean $X$ espacio topológico y $x_0,x_1\in X$. Un camino $\alpha$ de $x_0$ a $x_1$ es una función continua $\alpha:[0,1]\to X$ tal que $\alpha(0)=x_0, \alpha(1)=x_1$. El camino constante en $x\in X$ se define como $c_x(t)=x$ para todo $t\in [0,1]$. Dado un camino $\alpha$ se define su camino inverso $\overline{\alpha}$ como el camino de $x_1$ a $x_0$ dado por $\overline{\alpha}(t)=\alpha(1-t)$. Si $\beta$ es camino tal que $\alpha(1)=\beta(0)$ definimos el camino producto $\alpha*\beta$ como el camino dado por concatenación.
Usando que homotopía es una relación de equivalencia la multiplicación de caminos tiene la siguiente propiedades: Si $\alpha_1\simeq \alpha_2$ entonces $\overline{\alpha}_1\simeq \overline{\alpha}_2$.Si $\alpha_1\simeq \alpha_2,\;\beta_1\simeq \beta_2$, entonces $\a…

Breve historia de la derivada

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En el siguiente enlace podrás descargar Una breve historia del concepto de derivada para iPad y iPhone.

iTunes: Una breve historia del concepto de derivada


Números perfectos

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Presentación de grupo

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El Teorema de Cantor-Schröder-Bernstein en topología

Atractores extraños

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En 1963, Edward Lorenz desarrolló un modelo matemático simplificado para la convección atmosférica [1]. El modelo es un sistema de tres ecuaciones diferenciales ordinarias ahora conocido como el sistema de Lorenz (o ecuaciones de Lorenz): \begin{eqnarray*}
\frac{dx}{dt} &= a (x- y) \\
\frac{dy}{dt} &= x(b-z)-y \\
\frac{dz}{dt} &= xy-cz
\end{eqnarray*}
El sistema Lorenz es notable por tener soluciones caóticas para ciertos valores de parámetros y condiciones iniciales. En particular, el atractor de Lorenz (atractor extraño) es un conjunto de soluciones caóticas del sistema Lorenz que, cuando se trazan, se asemejan a una mariposa o un ocho [2]. Las siguientes figuras muestran dos trayectorias diferentes para valores particulares de los parámetros en el sistema:


En la simulación a continuación, puedes observar el movimiento de partículas descrito por el sistema de Lorenz.

Lorenz attractor: Simulación
Ecuaciones: \begin{eqnarray*}
\frac{dx}{dt}&=&a(y-x)\\
\frac{dy}{dt}&…

Campo vectorial dependiente del tiempo

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Un campo vectorial dependiente del tiempo
$$\mathbf v(x(t),y(t),t)=u(x(t),y(t),t)\,\mathbf i+v(x(t),y(t),t)\,\mathbf j,$$
es una construcción en cálculo vectorial que generaliza el concepto de campos vectoriales.
También se puede escribir de forma breve como
$$\mathbf  v(\mathbf x, t)=\mathbf  v(\mathbf x(t), t).$$
Esencialmente, un campo vectorial dependiente del tiempo cambia de deposición a medida que pasa el tiempo. Para cada instante del tiempo, se asocia un vector a cada punto en un espacio euclidiano o en una variedad.
Un campo vectorial (o campo de velocidad) dependiente del tiempo puede representar la velocidad de flujo de un fluido ideal o sin viscosidad.

Trayectorias y líneas de corriente
Supongamos que nuestro fluido está contenido en una región $D\subset \mathbb R^2$ y $\mathbf x= (x,y)$ es una posición en $D$. El movimiento de cada partícula en el fluido está descrito por el campo de velocidad  $\mathbf v(\mathbf x(t), t)$. Supongamos que la posición de la partícula en e…

Flujo uniforme con circulación

La siguiente función de flujo:
$$\psi=Uy\Big(1-\frac{a^2}{x^2+y^2}\Big)-\frac{\Gamma}{4\pi}\log(x^2+y^2)$$
representa el flujo uniforme de un fluido que pasa alrededor de un cilindro de radio $a$, con circulación $\Gamma$ y velocidad $U$.

Podemos ilustrar el flujo de partículas que se mueven con respecto a esta función de flujo. Para lograr esto, necesitamos las componentes del campo de velocidad $(u,v)$, el cual está determinado por el sistema de ecuaciones:
$$u=\frac{\partial \psi}{\partial y}\quad\text{y}\quad v=-\frac{\partial\psi}{\partial x}$$
En el interactivo de abajo, se utiliza el método Runge-Kutta de cuarto grado para resolver numéricamente dicho sistema. También se puede apreciar el comportamiento de las partículas para los siguientes valores $a=80$, $U=10$ ó $-10$ y $0<\Gamma<18000$.

Considera la constante
$$\textbf{g}=\frac{\Gamma}{4\pi a U}.$$
Observa en el interactivo qué sucede cuando la constante g varía.

Instrucciones:
Solo mueve el cursor de izquierda a derec…

Mariposa

La siguiente animación muestra la curva conocida como la Mariposa y es generada por la ecuación polar: $$r=e^{\sin \theta}-2\cos(4\theta) +\sin^5\left(\frac{2\theta-\pi}{24}\right).$$
La animación está hecha con el lenguaje de programación p5.js

Otras palabras sobre espacios compactos

Recordemos que previamente mencionamos las siguientes propiedades de conjuntos finitos:
- En todo conjunto finito siempre existe un elemento mínimo y un máximo.
- Toda función continua definida en un conjunto finito alcanza un máximo y un mínimo.
- La unión de una cantidad finita de conjuntos finitos es un conjunto finito
- La intersección de una cantidad arbitraria de conjuntos finitos es un conjunto finito

En esta entrada mostraremos que los espacios compactos también tienen dichas propiedades.


Introducción

El concepto de espacio compacto busca, de cierta manera, generalizar los fenómenos mencionados arriba para conjuntos que no necesariamente son finitos. Esta es una de las motivaciones que dieron origen a la definición de espacio compacto como la daremos más adelante; otras incluyen el estudio de las propiedades de intervalos cerrados y acotados así como el estudio de espacios de funciones continuas; véase [3] para un recuento de la historia de compacidad.


Resultados relevantes
1.- La co…