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Mostrando las entradas de febrero, 2018

Gráficas y su grupo fundamental

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Representación dinámica de transformaciones complejas

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Una función compleja $f(z)$ se puede considerar como un mapeo o transformación de los puntos en el plano $z$ (con $z=x+iy$) a los puntos en el plano $w$ (donde $u+iv$).



Los siguientes interactivos muestran algunas transformaciones básicas de regiones simples (cuadrados). Mueve el deslizador abajo de cada interactivo para aplicar la transformación.

$f(z)=1/z$ with  $-2\leq \text{Re}(z)\leq2,$ $-2\leq \text{Im}(z)\leq2$ y $z\neq 0$.


$f(z)=e^z$ with  $-\frac{\pi}{2}\leq \text{Re}(z)\leq\frac{\pi}{2},$ $-\frac{\pi}{2}\leq \text{Im}(z)\leq\frac{\pi}{2}$.

$f(z)=\log(z)$ with  $-\frac{\pi}{2}\leq \text{Re}(z)\leq\frac{\pi}{2},$ $-\frac{\pi}{2}\leq \text{Im}(z)\leq\frac{\pi}{2}$ y $z\neq 0$.
Enlace: https://www.openprocessing.org/sketch/511678



$f(z)=\text{sen}(z)$ with  $-\frac{\pi}{2}\leq \text{Re}(z)\leq\frac{\pi}{2},$ $-\frac{\pi}{2}\leq \text{Im}(z)\leq\frac{\pi}{2}$.

Enlace: https://www.openprocessing.org/sketch/511649


$f(z)=z+\frac1z$ with  $-0.6\leq \text{Re}(z)\leq0.6,$ $-0.6\leq \tex…

Un criterio de conexidad

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Homotopía (parte II)

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En esta entrada continuaremos con lo expuesto antes sobre homotopía y definiremos un objeto de gran importancia dentro de la Topología Algebraica: el grupo fundamental de un espacio.

El grupo fundamental
Sean $X$ espacio topológico y $x_0,x_1\in X$. Un camino $\alpha$ de $x_0$ a $x_1$ es una función continua $\alpha:[0,1]\to X$ tal que $\alpha(0)=x_0, \alpha(1)=x_1$. El camino constante en $x\in X$ se define como $c_x(t)=x$ para todo $t\in [0,1]$. Dado un camino $\alpha$ se define su camino inverso $\overline{\alpha}$ como el camino de $x_1$ a $x_0$ dado por $\overline{\alpha}(t)=\alpha(1-t)$. Si $\beta$ es camino tal que $\alpha(1)=\beta(0)$ definimos el camino producto $\alpha*\beta$ como el camino dado por concatenación.
Usando que homotopía es una relación de equivalencia la multiplicación de caminos tiene la siguiente propiedades: Si $\alpha_1\simeq \alpha_2$ entonces $\overline{\alpha}_1\simeq \overline{\alpha}_2$.Si $\alpha_1\simeq \alpha_2,\;\beta_1\simeq \beta_2$, entonces $\a…

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