Atractores extraños

En 1963, Edward Lorenz desarrolló un modelo matemático simplificado para la convección atmosférica [1]. El modelo es un sistema de tres ecuaciones diferenciales ordinarias ahora conocido como el sistema de Lorenz (o ecuaciones de Lorenz):
\begin{eqnarray*}
\frac{dx}{dt} &= a (x- y) \\
\frac{dy}{dt} &= x(b-z)-y \\
\frac{dz}{dt} &= xy-cz
\end{eqnarray*}
El sistema Lorenz es notable por tener soluciones caóticas para ciertos valores de parámetros y condiciones iniciales. En particular, el atractor de Lorenz (atractor extraño) es un conjunto de soluciones caóticas del sistema Lorenz que, cuando se trazan, se asemejan a una mariposa o un ocho [2]. Las siguientes figuras muestran dos trayectorias diferentes para valores particulares de los parámetros en el sistema:



En la simulación a continuación, puedes observar el movimiento de partículas descrito por el sistema de Lorenz.



Ecuaciones:
\begin{eqnarray*}
\frac{dx}{dt}&=&a(y-x)\\
\frac{dy}{dt}&=&x(b-z)-y\\
\frac{dz}{dt}&=&xy-cz
\end{eqnarray*}
Parámetros:
\begin{eqnarray*}
a&=&10,\\
b&=&28,\\
c&=&8/3.
\end{eqnarray*}

Más ejemplos de atractores extraños, con sus ecuaciones y parámetros, se muestran a continuación. Si deseas, también puedes interactuar con las simulaciones hechas con Processing.



Ecuaciones:
\begin{eqnarray*}
\frac{dx}{dt}&=&(z-b)x-dy\\
\frac{dy}{dt}&=&dx+(z-b)y\\
\frac{dz}{dt}&=&c+az-\frac{z^3}{3}-(x^2+y^2)(1-ez)+czx^3
\end{eqnarray*}
Parámetros:
\begin{eqnarray*}
a&=&0.3623,\\
b&=&0.5802,\\
c&=&0.3954,\\
d&=&3.3793,\\
e&=&0.224,\\
f&=&0.0187.
\end{eqnarray*}




Ecuaciones:
\begin{eqnarray*}
\frac{dx}{dt}&=&ax-yz\\
\frac{dy}{dt}&=&by+xz\\
\frac{dz}{dt}&=&cz+x\frac{y}{3}
\end{eqnarray*}
Parámetros:
\begin{eqnarray*}
a&=&5,\\
b&=&-10,\\
c&=&-0.38.
\end{eqnarray*}




Ecuaciones:
\begin{eqnarray*}
\frac{dx}{dt}&=&y-ax+byz\\
\frac{dy}{dt}&=&cy-xz+z\\
\frac{dz}{dt}&=&dxy-ez
\end{eqnarray*}
Parámetros:
\begin{eqnarray*}
a&=&3,\\
b&=&2.7,\\
c&=&1.7\\
d&=&2,\\
e&=&9.
\end{eqnarray*}




Ecuaciones:
\begin{eqnarray*}
\frac{dx}{dt}&=&-y^2-z^2-ax+ac\\
\frac{dy}{dt}&=&xy-bxy-y+d\\
\frac{dz}{dt}&=&bxy+zx-z
\end{eqnarray*}
Parámetros:
\begin{eqnarray*}
a&=&1.11,\\
b&=&1.47,\\
c&=&4.49,\\
d&=&0.44
\end{eqnarray*}




Ecuaciones:
\begin{eqnarray*}
\frac{dx}{dt}&=&-(y-z)\\
\frac{dy}{dt}&=&x+ay\\
\frac{dz}{dt}&=&b+z(x-c)
\end{eqnarray*}
Parámetros:
\begin{eqnarray*}
a&=&0.2,\\
b&=&0.2,\\
c&=&5.7.
\end{eqnarray*}




Ecuaciones:
\begin{eqnarray*}
\frac{dx}{dt}&=&bx+\sin(y)\\
\frac{dy}{dt}&=&-by+\sin(z)\\
\frac{dz}{dt}&=&-bz+\sin(x)
\end{eqnarray*}
Parámetros:
\begin{eqnarray*}
b&=&0.19.
\end{eqnarray*}

Para ver todos los atractores extraños juntos, da clic AQUí.

Referencias

[1] Deterministic Nonperiodic Flow, Edward N. Lorenz, 1963: American Meteorology Society, AMS Journals Online.

[2] The Essence of Chaos, Edward N. Lorenz, 1993, University of Washington Press, pp. 14-15. (In this book Lorenz describes how the expression butterfly effect appeared).

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