Homotopía (parte I)

El concepto de homotopía goza de una naturaleza geométrica muy intuitiva: homotopía es una deformación continua de objetos como espacios o funciones continuas. En esta entrada daremos la definición precisa y daremos ejemplos de homotopías.

Homotopía para funciones

Decimos que dos funciones continuas $f,g:X\to Y$ son homotópicas si existe una función continua

                                                              $H:X\times I\to Y$

tal que $H(x,0)=f(x),\;H(x,1)=g(x),\forall x\in X$. La función $H$ es llamada una homotopía entre $f$ y $g$ y se usa la notación $f\simeq_{H} g$ para designar a dos funciones homotópicas o simplemente $f\simeq g$ si la homotopía se sobreentiende o no hay necesidad de enfatizarla.

Notemos que para cada $t\in I$, la homotopía $H$ determina una función continua $H_t:X\to Y$, donde $H_t(x)=H(x,t)$. De esta consideración se obtiene que la relación de homotopía $\simeq$ corresponde a la idea de una deformación continua de la función $f$ en la función $g$ a través de la familia de funciones $\{H_t(x)\}_{t\in I}$.

Es sencillo mostrar que la relación de homotopía $\simeq$ es una relación de equivalencia en el espacio $Map(X,Y)$ de funciones continuas de $X\to Y$. Así, dada $f\in Map(X,Y)$ su clase de equivalencia esta dada por

                                                             $[f]=\{g:X\to Y  |   g\simeq f\} $

y es llamada la clase de homotopía de $f$. Es importante mencionar que la homotopía permite definir propiedades estables como aquellas que permanecen dentro de la clase de homotopía de una función. Son estas propiedades las que se consideran al construir invariantes (algebraicos) dentro de la Topología Algebraica.

La palabra homotopía fué acuñada por M. Dehn (1878-1952) y P. Heegaard (1871-1948) quienes la usaron en un contexto combinatorio ([1]). E. Steinitz (1871-1928) fue de los primeros matemáticos en usar el concepto de homotopía sin embargo L.E.J. Brouwer (1881-1966) fue el primero en dar la definición moderna de homotopía de arriba ([2])

L.E.J. Brouwer

Tomemos $Y\subseteq \mathbb{R}^n$ convexo. Para cualesquiera funciones $f,g:X\to Y$ consideremos la homotopía $H:X\times [0,1]\to Y$ dada por

                                                         $H(x,t)=(1-t)f(x)+tg(x)$

Notemos que $H$ es función continua y además $H(x,0)=f(x)$ y $H(x,1)=g(x)$, por lo que define una homotopía entre $f$ y $g$; así. cualesquiera funciones continua $f,g$ en un convexo de $\mathbb{R}^n$ son homotópicas. La homotopía de arriba es  llamada homotopía de lineas. 

El ejemplo anterior es de gran importancia para estudiar las propiedades homotópicas de subconjuntos de espacios euclidianos. Es de observarse que la continuidad de la homotopía de lineas se deriva de la continuidad de las operaciones de suma y producto escalar en $\mathbb{R}^n$. Por esta razón la homotopía de lineas solo es posible definirla en un espacio vectorial donde tales operaciones sean continuas como en un espacio vectorial normado.

Homotopía para espacios

La homotopía entre funciones permite definir una nueva relación de equivalencia entre espacios topológicos: se dice que $X,Y$ tienen el mismo tipo de homotopía si existen funciones continuas $f:X\to Y,\;\;g:Y\to X$ tales que

                                                      $f\circ g\simeq 1_Y, \;\;\;g\circ f\simeq 1_X$

Usaremos la notación $X\simeq Y$ para denotar a espacios con el mismo tipo de homotopía. Bajo estas circunstancias las funciones $f,g$ son llamadas equivalencias homotópicas y también se dice que una es inversa homotópica de la otra.

Al igual que antes, la propiedad de tener el mismo tipo de homotopía es una relación de equivalencia. Dado que tener una inversa continua es una relación más fuerte que tener una inversa homotópica, cualesquiera espacios homeomorfos tienen el mismo tipo de homotopía. Es decir, la relación de ser del mismo tipo de homotopía es una noción más débil que ser homeomorfos. A continuación mostramos que el recíproco de la afimación anterior no es cierto:

Sean $X=S^1$ circunferencia unitaria en $\mathbb{R}^2$ y $Y=S^1\cup ([1,2]\times \{0\})$ como en la figura abajo.

Observemos que $X,Y$ no son homeomorfos pues si existiera homeomorfismo $f:Y\to X$ se tendría, para $m_1=(1,0)$, que $X\backslash\{f(m_1)\}$ es conexo pero claramente $Y\backslash \{m_1\}$ no lo es; por lo tanto no pueden ser homeomorfos.

Por otro lado tomemos la inclusión $i:X\to Y$ y la función $g:Y\to X$ dada por

        

                               $g(x)=\begin{cases}x,&x\in S^1\\m_1,&x\in [1,2]\times \{0\} \end{cases}$

Notemos que $g\circ i=1_X,\;i\circ g\simeq_H 1_Y$, donde la homotopía $H:Y\times I\to Y$ está dada por 

                 $H(x,t)=\begin{cases}x,&x\in S^1\\tx+(1-t)m_1,&x\in [1,2]\times \{0\}\end{cases}$

En el ejemplo anterior se ilustra el hecho de que en una homotopía es posible comprimir un espacio o una parte de él.

Referencias

1.- Dehn, M., Heegaard, P., Analysis Situs, Enzykl. der math. Wiss., III 1 AB 3, Teubner, Leipzing, 1907. 
2.- Brouwer, L.E.J., Collected Works, vol. II, North Holland Amsterdam, 1976.