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Mostrando las entradas de enero, 2017

Invitación a la Topología (parte II)

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Como se mencionó previamente, es preciso contar con una definición más general de límite y de continuidad de manera que pueda aplicarse en varios contextos. Un primer paso para lograr esto es a través del concepto de espacio métrico.

Para calcular la distancia entre dos objetos se deben cumplir ciertas propiedades para que sea una operación útil y aplicable para calcular trayectorias, determinar lugares geométricos y para mediciones más elaboradas; las propiedades que debemos exigir son las usuales:

Se quiere que la distancia $d(x,y)$ entre $x,y$ sea un número positivo y que sea cero en el caso de que $x=y$.Que la distancia de $x$ a $y$ sea la misma que la distancia de $y$ a $x$; es decir, que halla simetría en la determinación de la distancia.Queremos que dos objetos que sean cercanos a un tercero sean cercanos entre si; es decir,
                                                           $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$
          para cualesquiera $x,y,z$ objetos de $X$.

Si podemos defini…

Invitación a la Topología (parte I)

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La continuidad de una función es uno de los conceptos más importantes y fascinantes de las matemáticas y, contrario a lo que todos pensamos la primera vez que vimos su definición, puede establecerse en términos muy simples: un función $f$ es continua si se puede trazar su gráfica sin levantar el lápiz de la hoja; es decir, que la gráfica de $f$ no tiene cortes o brincos; véase la figura de abajo donde se muestra la gráfica de una función que ``brinca'' en el origen


La descripción anterior es ilustrativa pero es complicado usarla en casos como el de la función
                              $f(x)=\begin{cases}x\sin (1/x),&x\neq0\\0,&x=0 \end{cases},$
cuya gráfica se muestra abajo



En términos geométricos, $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ es continua en $x_0$ siempre que puntos cercanos a $x_0$ tengan imágenes muy cercanas a $f(x_0)$. Pero, ¿qué significa estar cerca?, ¿qué distancia debe haber entre dos puntos para ser considerados cercanos? Estas consideraciones son resuel…

Proyección estereográfica

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En esta entrada continuaremos con lo expuesto hace días acerca de la compactificación unipuntual del espacio euclidiano $\mathbb{R}^n$.


Tomemos la compactificación $\widetilde{\mathbb{R}}$ y consideremos la circunferencia

                                                        $C=\{(x,y) | x^2+(y-1/2)^2=(1/2)^2\}$

para definir $h:C\to \widetilde{\mathbb{R}}$ como sigue:

- $h(N)=\infty$, para $N=(0,1)$
- $h(x)$ es el punto en el eje $X$ donde la linea que parte de $N$ y que pasa por $x\in C$ corta a dicho eje; véase la figura de abajo




Claramente $h$ es una función continua. Para ver que $h$ es homeomorfismo tomamos $x\in \mathbb{R}$, trazamos la linea entre $x$ y el punto $N$; el punto de intersección de la recta con la circunferencia define la inversa de $h$. Esto prueba que la compactificación $\widetilde{\mathbb{R}}$ es un espacio homeomorfo a la circunferencia $S^1$.



El caso de la esfera unitaria $S^2$ en el espacio euclidiano $\mathbb{R}^3$ es muy similar a lo hecho para el caso u…

Rombicosidodecaedro

El Rombicosidodecaedro es un sólido de Arquímedes, que sin inflar puede llenar hasta el 93.32% de una esfera. Está formado por 12 pentágonos, 30 cuadrados y 20 triángulos, 60 vértices y 120 aristas; 62 caras en total.

La expansión de un dodecaedro o un icosaedro crea un rombicosidodecaedro:


Enlace GeoGebra: Rombicosidodecaedro
El Rombicosidodecaedro conocido se refiere al hecho de que las 30 caras cuadradas yacen en los mismos planos que las 30 caras del Triacontaedro rómbico que es dual al icosidodecaedro. También puede ser llamado un dodecaedro truncado o Icosaedro truncado mediante operaciones de truncamiento del poliedro uniforme.

Rombicuboctaedro

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El rombicuboctaedro o pequeño rombicuboctaedro es un sólido de Arquímedes que se obtiene truncando cada vértice de un cuboctaedro con lo que resultan 8 caras: 4 del tetraedro original que se convierten de triangulares a hexagonales y 4 nuevas que resultan de los vértices, en este caso triangulares.


Enlace GeoGebra: Rombicuboctaedro
Un rombicuboctaedro aparece en un famoso cuadro de 1495, Retrato de fra Luca Pacioli y su estudiante, de autor desconocido. El poliedro, hecho en cristal, se encuentra colgado a la derecha del matemático y está medio lleno de agua.