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Mostrando las entradas de 2017

El Teorema de Cantor-Schröder-Bernstein en topología

EL TEOREMA CANTOR-SCHRODER-BERNSTEIN EN TOPOLOGIA by Juancarlos Ponce on Scribd

Atractores extraños

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En 1963, Edward Lorenz desarrolló un modelo matemático simplificado para la convección atmosférica [1]. El modelo es un sistema de tres ecuaciones diferenciales ordinarias ahora conocido como el sistema de Lorenz (o ecuaciones de Lorenz): \begin{eqnarray*} \frac{dx}{dt} &= a (x- y) \\ \frac{dy}{dt} &= x(b-z)-y \\ \frac{dz}{dt} &= xy-cz \end{eqnarray*} El sistema Lorenz es notable por tener soluciones caóticas para ciertos valores de parámetros y condiciones iniciales. En particular, el atractor de Lorenz (atractor extraño) es un conjunto de soluciones caóticas del sistema Lorenz que, cuando se trazan, se asemejan a una mariposa o un ocho [2]. Las siguientes figuras muestran dos trayectorias diferentes para valores particulares de los parámetros en el sistema: En la simulación a continuación, puedes observar el movimiento de partículas descrito por el sistema de Lorenz. Lorenz attractor: Simulación Ecuaciones: \begin{eqnarray*} \frac{dx}{dt}&a

Campo vectorial dependiente del tiempo

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Un campo vectorial dependiente del tiempo $$\mathbf v(x(t),y(t),t)=u(x(t),y(t),t)\,\mathbf i+v(x(t),y(t),t)\,\mathbf j,$$ es una construcción en cálculo vectorial que generaliza el concepto de campos vectoriales . También se puede escribir de forma breve como $$\mathbf  v(\mathbf x, t)=\mathbf  v(\mathbf x(t), t).$$ Esencialmente, un campo vectorial dependiente del tiempo cambia de deposición a medida que pasa el tiempo. Para cada instante del tiempo, se asocia un vector a cada punto en un espacio euclidiano o en una variedad. Un campo vectorial (o campo de velocidad) dependiente del tiempo puede representar la velocidad de flujo de un fluido ideal o sin viscosidad. Trayectorias y líneas de corriente Supongamos que nuestro fluido está contenido en una región $D\subset \mathbb R^2$ y $\mathbf x= (x,y)$ es una posición en $D$. El movimiento de cada partícula en el fluido está descrito por el campo de velocidad  $\mathbf v(\mathbf x(t), t)$. Supongamos que la posición

Flujo uniforme con circulación

La siguiente función de flujo: $$\psi=Uy\Big(1-\frac{a^2}{x^2+y^2}\Big)-\frac{\Gamma}{4\pi}\log(x^2+y^2)$$ representa el flujo uniforme de un fluido que pasa alrededor de un cilindro de radio $a$, con circulación $\Gamma$ y velocidad $U$. Podemos ilustrar el flujo de partículas que se mueven con respecto a esta función de flujo. Para lograr esto, necesitamos las componentes del campo de velocidad $(u,v)$, el cual está determinado por el sistema de ecuaciones: $$u=\frac{\partial \psi}{\partial y}\quad\text{y}\quad v=-\frac{\partial\psi}{\partial x}$$ En el interactivo de abajo, se utiliza el método Runge-Kutta de cuarto grado para resolver numéricamente dicho sistema. También se puede apreciar el comportamiento de las partículas para los siguientes valores $a=80$, $U=10$ ó $-10$ y $0<\Gamma<18000$. Considera la constante $$\textbf{g}=\frac{\Gamma}{4\pi a U}.$$ Observa en el interactivo qué sucede cuando la constante g  varía. Instrucciones: Solo mueve el cursor de iz

Mariposa

La siguiente animación muestra la curva conocida como la Mariposa y es generada por la ecuación polar: $$r=e^{\sin \theta}-2\cos(4\theta) +\sin^5\left(\frac{2\theta-\pi}{24}\right).$$ La animación está hecha con el lenguaje de programación  p5.js  

Otras palabras sobre espacios compactos

Recordemos que previamente mencionamos las siguientes propiedades de conjuntos finitos: - En todo conjunto finito siempre existe un elemento  mínimo  y un  máximo . - Toda función continua definida en un conjunto finito alcanza un  máximo  y un  mínimo . - La  unión  de una cantidad  finita  de conjuntos finitos es un conjunto finito - La  intersección  de una cantidad  arbitraria  de conjuntos finitos es un conjunto finito En esta entrada mostraremos que los espacios compactos también tienen dichas propiedades. Introducción El concepto de espacio  compacto  busca, de cierta manera, generalizar los fenómenos mencionados arriba para conjuntos que no necesariamente son finitos. Esta es una de las motivaciones que dieron origen a la definición de espacio compacto como la daremos más adelante; otras incluyen el estudio de las propiedades de intervalos cerrados y acotados así como el estudio de espacios de funciones continuas; véase [3] para un recuento de la historia de comp

Toro de Clifford

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Enlace: Clifford torus

Matemáticas dinámicas, enciclopedias y recursos didácticos

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La siguiente lista está compuesta de sitios web muy interesantes de diferentes temas de matemáticas y física. Algunos de ellos contienen también simulaciones e interactivos. - Earth:  https://earth.nullschool.net/ - Encyclopedia of mathematics:  https://www.encyclopediaofmath.org/ - Encyclopedia of integer sequences:  http://oeis.org/ - Visual Polyhedra:  http://dmccooey.com/polyhedra/index.html - Wallpaper Symmetry:  http://math.hws.edu/eck/jsdemo/wallpaper.html - Digital mathematics:  http://www.malinc.se/ - Digital mathematics other topics:  http://www.malinc.se/math/ - Matemáticas visuales:  http://www.matematicasvisuales.com/index.html - Math curve:  http://www.mathcurve.com/ - Euclid's Elements:  http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/elements.html - Map projections:  https://www.jasondavies.com/maps/transition/ - Fractal geometry:  http://users.math.yale.edu/public_html/People/frame/Fract

Unas palabras sobre espacios compactos

En una entrada previa  mencionamos brevemente la definición de espacio compacto. En los párrafos de abajo ahondaremos en dicha definición, dando algunos ejemplos y contra ejemplos de espacios compactos. Introducción Algunos resultados de naturaleza aritmética o relativos a la Teoría de conjuntos son claramente válidos para conjuntos finitos pero no lo son para conjuntos infinitos; por citar algunos: - En todo conjunto finito siempre existe un elemento mínimo  y un máximo . - Toda función continua definida en un conjunto finito alcanza un máximo y un mínimo . - La unión de una cantidad finita de conjuntos finitos es un conjunto finito - La intersección de una cantidad arbitraria de conjuntos finitos es un conjunto finito El concepto de espacio compacto busca, de cierta manera, generalizar los fenómenos mencionados arriba para conjuntos que no necesariamente son finitos. Esta es una de las motivaciones que dieron origen a la definición de espacio compacto como la d

Dibujando grafos

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Con la siguiente aplicación (html5, javascript): http://g.ivank.net/ puedes diseñar tus propios grafos, como el que se muestra abajo, definido como $$6:1-4,1-5,1-6,2-4,2-5,2-6,3-4,3-5,3-6$$

El interior del toro

Seguramente has visto un toro (una dona) desde el exterior. Pero ¿alguna vez te has preguntado cómo se ve el toro por dentro? Con el siguiente applet puedes explorar el interior del toro. Instrucciones: 1. Usa el ratón para girar en el interior o para salir del toro (click sin soltar botón hacia izquierda y derecha, o arriba y abajo). 2. Mueve los deslizadores para cambiar los parámetros que definen a este toro en particular. Enlace: Inside the torus

Espacio separable

Decimos que un subespacio $A\subset X$ es denso en $X$ si $\overline{A}=X$. Observemos que, utilizando la caracterización de la cerradura en términos de abiertos, se tiene que $A$ es denso si, y sólo si, todo abierto no vacío de $X$ intersecta a $A$. Ejemplo 1 . Observemos que en cualquier espacio dotado de la topología trivial, cualquier subconjunto no vacío es denso. Por el contrario, en cualquier espacio dotado de la topología discreta ningún subconjunto propio es denso.$\blacktriangleleft$ Ejemplo 2 . Sea $X$ con la topología del complemento finito y $W\subset X$ infinito. Recordemos que $U\subset X$ es cerrado si y solo si $C=X$ ó $C$ es finito. Así, cualquier cerrado que contenga a $W$ debe ser todo $X$ y por lo tanto es denso.$\blacktriangleleft$ Un espacio topológico es llamado separable  (ó de Fréchet) si contiene un subconjunto denso  y numerable.  Ejemplo 3 . La recta real $\mathbb{R}$ con la topología usual es separable pues el conjunto de los raciona

El Cálculo Hecho Fácil

En esta (pequeña) entrada nos permitiremos traducir algunos párrafos del libro Calculus Made Easy de S.P. Thompson escrito en 1910 [1]. El título original del libro es: Calculus Made Easy: being a very-simplest introduction to those beautiful methods of reckoning which are generally called by the terrifying names of the Differential Calculus and the Integral Calculus cuya traducción podría ser: Cálculo Hecho Fácil: una introducción muy simple a aquellos hermosos métodos de conteo que generalmente son llamados con los terribles nombres de Cálculo Diferencial y Cálculo Integra l El primer capítulo, titulado To deliver you from the preliminary terrors (algo así como Para liberarte de los terrores preliminares ), consiste de dos páginas que nos disponemos a traducir pues rara vez puede encontrarse en los libros de texto explicaciones tan sencillas y a la vez tan ilustrativas: El terror preliminar, el cual asfixia a la mayoría de los chicos quinceañeros al intentar a

Proyección estereográfica (en dimensión 2)

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Lo expuesto en esta entrada se relaciona y amplía lo expuesto  aquí Considere el plano $\mathbb{R}^2$, la esfera unitaria $S^2$ y $N=(0,0,1)$ su polo norte. Pruebe que $\mathbb{R},\:S^2\backslash{N}$ son espacios homeomorfos. Solución. Definiremos una función $f:S^2\backslash\{N\}\to \mathbb{R}^2$ como sigue: dado el punto $(x,y,z)\in S^2\backslash{N}$ consideramos la línea que une a $N$ con $(x,y,z)$; el punto de intersección de dicha línea con el plano $\mathbb{R}^2\subset \mathbb{R}^3$ es el valor de $f(x)$. Observemos que la función $f$ manda el hemisferio inferior de la esfera al disco unitario en $\mathbb{R}^2$ y el hemisferio superior al exterior del disco. Véase la figura de abajo.  También puedes usar el siguiente applet: Mueve el punto A definido en la esfera. Puedes cambiar la perspectiva 3d con el ratón. Enlace:  https://ggbm.at/bQKwnfN8 Para conocer las coordenadas de la función $f$ hagamos $f(x,y,z)=(u,v)$ y denotamos $r^2=x^2+y^2,\;s^2=u^2+v^2

Ejercicio de Topología

Considere a los espacios $\mathbb{R}^2, \mathbb{R}$ con métrica usual y defina la función                                   $p: \mathbb{R}^2\to \mathbb{R},\qquad p(x,y)=x$ Pruebe que $p$ es función continua. Solución . Para $(x,y)\in \mathbb{R}^2$ tomemos $V$ vecindad de $x\in \mathbb{R}$ y consideremos $\epsilon$ tal que $B_\epsilon(x)\subseteq V$. Definamos $U=B_\epsilon((x,y))$ y notemos que $p(U)\subseteq V$, lo cual prueba que $p$ es continua.

El espacio de Arens-Fort

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Nombrado en honor a los matemáticos estadounidenses R. F. Arens y M. K. Fort, el espacio de Arens-Fort es un espacio topológico usado en Topología General principalmente como contraejemplo para ciertos resultados o para mostrar la relación que guardan algunas propiedades topológicas entre sí. En lo que sigue mostraremos un resultado relacionado con sucesiones en dicho espacio. Definición Como conjunto, el espacio de Arens-Fort $W$ consiste de todas las parejas ordenadas de enteros no negativos en el plano. En otras palabras, para cada $n\in \mathbb{N}$ consideremos la $n$-ésima columna de $W$ como el conjunto de parejas                                                           $C_n=\{(n,1),(n,2),(n,3)\ldots,\}$ Hagamos $X=\cup_{n\geq 1}C_n$ y definamos $W=X\cup \{(0,0)\}$. La topología en $W$ se define como sigue: $U\subseteq W$ es abierto si $(0,0)\notin U$ ó si existe $n_0\in \mathbb{N}$ tal que $C_n\backslash U$ es finito para todo $n\geq n_0$. Notemos

Desenreda: Grafo bipartito

Instrucciones:  Coloca los puntos de modo que no se superpongan las líneas. Enlace:  https://ggbm.at/wWUrtqBy

Desenreda

Instrucciones: Coloca los puntos morados de modo que no se superpongan las líneas. Enlace:  https://ggbm.at/hnjyEwSQ

Interactivo de la homotopía del círculo

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Enlace GeoGebra:  https://ggbm.at/Pb7G63qT

Homotopía (parte I)

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El concepto de homotopía goza de una naturaleza geométrica muy intuitiva: homotopía es una deformación continua de objetos como espacios o funciones continuas. En esta entrada daremos la definición precisa y daremos ejemplos de homotopías. Homotopía para funciones Decimos que dos funciones continuas $f,g:X\to Y$ son homotópicas si existe una función continua                                                               $H:X\times I\to Y$ tal que $H(x,0)=f(x),\;H(x,1)=g(x),\forall x\in X$. La función $H$ es llamada una homotopía  entre $f$ y $g$ y se usa la notación $f\simeq_{H} g$ para designar a dos funciones homotópicas o simplemente $f\simeq g$ si la homotopía se sobreentiende o no hay necesidad de enfatizarla. Notemos que para cada $t\in I$, la homotopía $H$ determina una función continua $H_t:X\to Y$, donde $H_t(x)=H(x,t)$. De esta consideración se obtiene que la relación de homotopía $\simeq$ corresponde a la idea de una deformación continua de la fun

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