Water Knots (Nudos en el agua)

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Además de la importancia que tienen en la vida cotidiana, los nudos son objetos que pueden ser estudiados desde un punto de vista matemático y resultan de gran importancia en la Topología de Bajas Dimensiones.


Definiciones y el grupo de nudo

Un nudo es un subconjunto $K$ del espacio $\mathbb{R}^3$ homeomorfo a la circunferencia unitaria $S^1$. Notemos que del homeomorfismo de la definición se sigue que un nudo $K$ es una curva cerrada (termina en el mismo punto donde inició) y que no se intersecta a sí misma. Abajo un ejemplo de nudo, el nudo trébol (en una versión cúbica).





Así como con otros objetos en las matemáticas es importante definir una relación de equivalencia entre nudos: dos nudos $K_1,K_2$ son llamados equivalentes si existe un homeomorfismo $h:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3$ tal que $h(K_1)=K_2$; es decir, dos nudos son equivalentes si uno puede deformarse continuamente en el otro. En la figura de abajo se muestran nudos equivalentes



Un primer problema que surge es determinar/decidir si dos nudos son equivalentes para lo cual se construyen invariantes de manera que si dos nudos tienen invariantes distintios, entonces los nudos no pueden ser equivalentes. Uno de tales invariantes considera la geometría del complemento al definir el grupo de nudo $K$ como el grupo fundamental $\pi_1(\mathbb{R}^3\backslash K)$ del complemento de $K$. En general, dado un enlace $C$ (unión disjunta de nudos), se puede asociar el invariante $\pi_1(\mathbb{R}^3\backslash C)$  para determinar si dos enlaces son o no equivalentes. Por ejemplo, los grupos asociados a los enlaces de las figuras de abajo




son el producto libre $\mathbb{Z}*\mathbb{Z}$, el grupo libre $\mathbb{Z}$ y el grupo con presentación $<a,b\:|\: b^2 a b^{-2} a^{-1}>$, respectivamente. Otros invariantes de nudos, especialmente los de tipo polinomial, son construidos de manera que sean más sensibles a la manera en que el nudo se encuentra inmerso en $\mathbb{R}^3$, por ejemplo diferenciando un cruce derecho de uno izquierdo.



Nudos en Física

La aparición de nudos y enlaces en la Física, Clásica y Cuántica, ocupa un rol de gran importancia  dentro de diversas áreas de la Física. En particular, la Teoría de Nudos desarrollada por los matemáticos tiene fuertes conexiones con teorías fisicas como se describe en este texto de Edward Witten, físico matemático ganador de la Medalla Fields en 1990. El video de abajo corresponde a un estudio publicado en la revista Nature en 2013 donde se da testimonio de la creación de nudos de trébol en fluidos.








En el siguiente enlace podrán encontrar el resúmen del artículo mencionado de la revista Nature: Creation and dynamics of knotted vortices.

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